Элемент. математика Примеры

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \div \frac{35 n^{2} + 34 n - 21}{n^{2} - 8 n + 7}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $75 n^{2} - 147$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $75 n^{2}$ .

$\frac{3 (25 n^{2}) - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 147$ .

$\frac{3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)$ .

$\frac{3 (25 n^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2.2

Перепишем $25 n^{2}$ в виде ${(5 n)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 7^{2})}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5 n$ и $b = 7$ .

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 7 = 35$ , а сумма — $b = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 n$ .

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 (n) + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 12$ как $- 5$ плюс $- 7$

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} + (- 5 - 7) n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 5 n - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(5 n^{2} - 5 n) - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n (n - 1) - 7 (n - 1)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $n - 1$ .

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 4

Сократим общий множитель $5 n - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 5

Разложим $n^{2} - 8 n + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $- 8$ .

$- 7, - 1$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 35 \cdot - 21 = - 735$ , а сумма — $b = 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $34$ из $34 n$ .

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 (n) - 21}$

Этап 6.1.2

Запишем $34$ как $- 15$ плюс $49$

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + (- 15 + 49) n - 21}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} - 15 n + 49 n - 21}$

Этап 6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(35 n^{2} - 15 n) + 49 n - 21}$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{5 n (7 n - 3) + 7 (7 n - 3)}$

Этап 6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 n - 3$ .

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $5 n + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $5 n + 7$ из $3 (5 n + 7)$ .

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $5 n + 7$ из $(7 n - 3) (5 n + 7)$ .

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

Этап 7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{7 n - 3}$

Этап 8

Сократим общий множитель $n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $n - 1$ из $(n - 7) (n - 1)$ .

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{n - 7}{7 n - 3}$

Этап 9

Объединим $3$ и $\frac{n - 7}{7 n - 3}$ .

$\frac{3 (n - 7)}{7 n - 3}$