Элемент. математика Примеры

$\frac{9 y^{2} - 28 + 3}{9 y^{2} + 80 y - 9} \div \frac{27 y^{2} - 12 y + 1}{3 y^{2} + 26 y - 9}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{9 y^{2} - 28 + 3}{9 y^{2} + 80 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $- 28$ и $3$ .

$\frac{9 y^{2} - 25}{9 y^{2} + 80 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 2.2

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 25}{9 y^{2} + 80 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 2.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 5^{2}}{9 y^{2} + 80 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 5$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y^{2} + 80 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 9 = - 81$ , а сумма — $b = 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $80$ из $80 y$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y^{2} + 80 (y) - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3.1.2

Запишем $80$ как $- 1$ плюс $81$

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y^{2} + (- 1 + 81) y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y^{2} - 1 y + 81 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y^{2} - 1 y) + 81 y - 9} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{y (9 y - 1) + 9 (9 y - 1)} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 y - 1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 9 = - 27$ , а сумма — $b = 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $26$ из $26 y$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{3 y^{2} + 26 (y) - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4.1.2

Запишем $26$ как $- 1$ плюс $27$

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{3 y^{2} + (- 1 + 27) y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{3 y^{2} - 1 y + 27 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y^{2} - 1 y) + 27 y - 9}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{y (3 y - 1) + 9 (3 y - 1)}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y - 1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{27 y^{2} - 12 y + 1}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 27 \cdot 1 = 27$ , а сумма — $b = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 y$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{27 y^{2} - 12 (y) + 1}$

Этап 5.1.2

Запишем $- 12$ как $- 3$ плюс $- 9$

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{27 y^{2} + (- 3 - 9) y + 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{27 y^{2} - 3 y - 9 y + 1}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{(27 y^{2} - 3 y) - 9 y + 1}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{3 y (9 y - 1) - (9 y - 1)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 y - 1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(9 y - 1) (y + 9)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $y + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $y + 9$ из $(9 y - 1) (y + 9)$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(y + 9) (9 y - 1)} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 9)}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $y + 9$ из $(3 y - 1) (y + 9)$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(y + 9) (9 y - 1)} \cdot \frac{(y + 9) (3 y - 1)}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{(y + 9) (9 y - 1)} \cdot \frac{(y + 9) (3 y - 1)}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y - 1} \cdot \frac{3 y - 1}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 7

Умножим $\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{9 y - 1}$ на $\frac{3 y - 1}{(9 y - 1) (3 y - 1)}$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{(9 y - 1) ((9 y - 1) (3 y - 1))}$

Этап 8

Возведем $9 y - 1$ в степень $1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{{(9 y - 1)}^{1} (9 y - 1) (3 y - 1)}$

Этап 9

Возведем $9 y - 1$ в степень $1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{{(9 y - 1)}^{1} {(9 y - 1)}^{1} (3 y - 1)}$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{{(9 y - 1)}^{1 + 1} (3 y - 1)}$

Этап 11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{{(9 y - 1)}^{2} (3 y - 1)}$

Этап 12

Сократим общий множитель $3 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5) (3 y - 1)}{{(9 y - 1)}^{2} (3 y - 1)}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 y + 5) (3 y - 5)}{{(9 y - 1)}^{2}}$