Элемент. математика Примеры

$\frac{a}{a^{2} + 14 a + 48} - \frac{6}{a^{2} + 10 a + 24}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $a^{2} + 14 a + 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $48$ , а сумма — $14$ .

$6, 8$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a}{(a + 6) (a + 8)} - \frac{6}{a^{2} + 10 a + 24}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} + 10 a + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $10$ .

$4, 6$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a}{(a + 6) (a + 8)} - \frac{6}{(a + 4) (a + 6)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a}{(a + 6) (a + 8)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a + 8)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{6}{(a + 4) (a + 6)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{6}{(a + 4) (a + 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 8}{a + 8}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a + 8)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{6}{(a + 4) (a + 6)} \cdot \frac{a + 8}{a + 8}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 6) (a + 8) (a + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a}{(a + 6) (a + 8)}$ на $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a + 8) (a + 4)} - \frac{6}{(a + 4) (a + 6)} \cdot \frac{a + 8}{a + 8}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{6}{(a + 4) (a + 6)}$ на $\frac{a + 8}{a + 8}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a + 8) (a + 4)} - \frac{6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a + 6) (a + 8) (a + 4)$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)} - \frac{6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (a + 4) - 6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 4 - 6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 4 - 6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.3

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 \cdot a - 6 (a + 8)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 4 a - 6 a - 6 \cdot 8}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.5

Умножим $- 6$ на $8$ .

$\frac{a^{2} + 4 a - 6 a - 48}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.6

Вычтем $6 a$ из $4 a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a - 48}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 6.7

Разложим $a^{2} - 2 a - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $- 2$ .

$- 8, 6$

Этап 6.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 8) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $a + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 8) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a + 8)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 8}{(a + 4) (a + 8)}$