Элемент. математика Примеры

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 25} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Этап 1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} + 6 a + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $6$ .

$1, 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ на $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) (a + 5) (a + 5)}$

Этап 4.3

Возведем $a + 5$ в степень $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} (a + 5))}$

Этап 4.4

Возведем $a + 5$ в степень $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1})}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{1 + 1}}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{2}}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (a + 1) - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.3

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a^{2} + a - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + a + (- 1 \cdot 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.6

Умножим $- - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + 1 a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.6.2

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.7

Развернем $(- 4 + a) (a + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + a - 4 (a + 5) + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.8.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.8.1.3

Перенесем $5$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + 5 a}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.8.2

Добавим $- 4 a$ и $5 a$ .

$\frac{a^{2} + a + a - 20 + a^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.9

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + a + a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.10

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.11

Вынесем множитель $2$ из $2 a^{2} + 2 a - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (a) - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.11.3

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.11.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (a^{2}) + 2 a$ .

$\frac{2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Этап 6.11.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10$ .

$\frac{2 (a^{2} + a - 10)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$