Элемент. математика Примеры

$\frac{a (3 a + b) (2 a - 9 b) a}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{1} a (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 1.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{1 + 1} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} \cdot b (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} \cdot b^{1} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1 + 1} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{2} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $b^{2}$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b^{2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $b$ на $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} b^{2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1 + 2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 3

Вынесем множитель $5 b$ из $5 a b - 20 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5 b$ из $5 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a) - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5 b$ из $- 20 b^{2}$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a) + 5 b (- 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $5 b$ из $5 b (a) + 5 b (- 4 b)$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 20 = 20$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} + 20 b^{2} - 9 a b}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок $20 b^{2}$ и $- 9 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 (a b) + 20 b^{2}}$

Этап 4.1.4

Запишем $- 9$ как $- 4$ плюс $- 5$

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} + (- 4 - 5) (a b) + 20 b^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 4 (a b) - 5 (a b) + 20 b^{2}}$

Этап 4.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 4 a b - 5 a b + 20 b^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{(a^{2} - 4 a b) - 5 a b + 20 b^{2}}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a (a - 4 b) - 5 b (a - 4 b)}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $a - 4 b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{(a - 4 b) (a - 5 b)}$

Этап 5

Объединим.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 b (a - 4 b))}{b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Этап 6

Сократим общий множитель $b$ и $b^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $b$ из $a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 b (a - 4 b))$ .

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $b$ из $b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))$ .

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b ((b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b)))}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b ((b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b)))}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b))}{(b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Этап 7

Сократим общий множитель $a - 4 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b))}{b^{2} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) \cdot (5)}{(b^{2} (a + 5 b)) (a - 5 b)}$

Этап 8

Перенесем $5$ влево от $a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)$ .

$\frac{5 a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{2} (a + 5 b) (a - 5 b)}$