Элемент. математика Примеры

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a}$

Этап 1.2.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a^{1}}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $a$ из $a^{1}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot 1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{a (a + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 1) (a - 1) a$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{a (a + 1)}$ на $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a + 1) (a - 1) a$ .

$\frac{(a + 3) a}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a + 3) a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 3 a - a - - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.5

Вычтем $a$ из $3 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 2 a + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Этап 6.6.3

Перепишем многочлен.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 6.6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 7

Сократим общий множитель ${(a + 1)}^{2}$ и $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $a + 1$ из ${(a + 1)}^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $a + 1$ из $a (a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$