Элемент. математика Примеры

$a^{2} - a - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $a^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{a^{2}}{1} - a - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{a^{2}}{1}$ на $\frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8}$ .

$\frac{a^{2}}{1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8} - a - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{a^{2}}{1}$ на $\frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 2 a - 8)}{a^{2} - 2 a - 8} - a - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1.4

Запишем $- a$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 2 a - 8)}{a^{2} - 2 a - 8} + \frac{- a}{1} - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{- a}{1}$ на $\frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 2 a - 8)}{a^{2} - 2 a - 8} + \frac{- a}{1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8} - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{- a}{1}$ на $\frac{a^{2} - 2 a - 8}{a^{2} - 2 a - 8}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 2 a - 8)}{a^{2} - 2 a - 8} + \frac{- a (a^{2} - 2 a - 8)}{a^{2} - 2 a - 8} - \frac{12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a^{2} (a^{2} - 2 a - 8) - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} a^{2} + a^{2} (- 2 a) + a^{2} \cdot - 8 - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $a^{2}$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2 + 2} + a^{2} (- 2 a) + a^{2} \cdot - 8 - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{a^{4} + a^{2} (- 2 a) + a^{2} \cdot - 8 - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{4} - 2 a^{2} a + a^{2} \cdot - 8 - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $- 8$ влево от $a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{2} a - 8 \cdot a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.3

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a^{4} - 2 (a \cdot a^{2}) - 8 \cdot a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{4} - 2 (a^{1} a^{2}) - 8 \cdot a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{4} - 2 a^{1 + 2} - 8 \cdot a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 \cdot a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a (a^{2} - 2 a - 8) - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a \cdot a^{2} - a (- 2 a) - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $a$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Перенесем $a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - (a^{2} a) - a (- 2 a) - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - (a^{2} a^{1}) - a (- 2 a) - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{2 + 1} - a (- 2 a) - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} - a (- 2 a) - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} - 1 \cdot - 2 a \cdot a - a \cdot - 8 - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.5.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} - 1 \cdot - 2 a \cdot a + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} - 1 \cdot - 2 a^{2} + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{a^{4} - 2 a^{3} - 8 a^{2} - a^{3} + 2 a^{2} + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $a^{3}$ из $- 2 a^{3}$ .

$\frac{a^{4} - 3 a^{3} - 8 a^{2} + 2 a^{2} + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 2.3.2

Добавим $- 8 a^{2}$ и $2 a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - 3 a^{3} - 6 a^{2} + 8 a - 12}{a^{2} - 2 a - 8}$

Этап 3

Разложим $a^{2} - 2 a - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a^{4} - 3 a^{3} - 6 a^{2} + 8 a - 12}{(a - 4) (a + 2)}$