Элемент. математика Примеры

$\frac{5}{z + 4} + \frac{3}{z - 2} - 5$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{5}{z + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{5}{z + 4} \cdot \frac{z - 2}{z - 2} + \frac{3}{z - 2} - 5$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{z - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{5}{z + 4} \cdot \frac{z - 2}{z - 2} + \frac{3}{z - 2} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - 5$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(z + 4) (z - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{5}{z + 4}$ на $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{5 (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)} + \frac{3}{z - 2} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - 5$

Этап 3.2

Умножим $\frac{3}{z - 2}$ на $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{5 (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)} + \frac{3 (z + 4)}{(z - 2) (z + 4)} - 5$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(z - 2) (z + 4)$ .

$\frac{5 (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)} + \frac{3 (z + 4)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 (z - 2) + 3 (z + 4)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 z + 5 \cdot - 2 + 3 (z + 4)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{5 z - 10 + 3 (z + 4)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 z - 10 + 3 z + 3 \cdot 4}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 z - 10 + 3 z + 12}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.5

Добавим $5 z$ и $3 z$ .

$\frac{8 z - 10 + 12}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.6

Добавим $- 10$ и $12$ .

$\frac{8 z + 2}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.7

Вынесем множитель $2$ из $8 z + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $2$ из $8 z$ .

$\frac{2 (4 z) + 2}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (4 z) + 2 (1)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 5.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 z) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 z + 1)}{(z + 4) (z - 2)} - 5$

Этап 6

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$ .

$\frac{2 (4 z + 1)}{(z + 4) (z - 2)} - 5 \cdot \frac{(z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $- 5$ и $\frac{(z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$ .

$\frac{2 (4 z + 1)}{(z + 4) (z - 2)} + \frac{- 5 ((z + 4) (z - 2))}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (4 z + 1) - 5 ((z + 4) (z - 2))}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 z) + 2 \cdot 1 - 5 (z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 z + 2 \cdot 1 - 5 (z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 (z + 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 z + 2 + (- 5 z - 5 \cdot 4) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.5

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\frac{8 z + 2 + (- 5 z - 20) (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.6

Развернем $(- 5 z - 20) (z - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 z + 2 - 5 z (z - 2) - 20 (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 z + 2 - 5 z \cdot z - 5 z \cdot - 2 - 20 (z - 2)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 z + 2 - 5 z \cdot z - 5 z \cdot - 2 - 20 z - 20 \cdot - 2}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1.1

Перенесем $z$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 (z \cdot z) - 5 z \cdot - 2 - 20 z - 20 \cdot - 2}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.7.1.1.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 z^{2} - 5 z \cdot - 2 - 20 z - 20 \cdot - 2}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 z^{2} + 10 z - 20 z - 20 \cdot - 2}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.7.1.3

Умножим $- 20$ на $- 2$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 z^{2} + 10 z - 20 z + 40}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.7.2

Вычтем $20 z$ из $10 z$ .

$\frac{8 z + 2 - 5 z^{2} - 10 z + 40}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.8

Вычтем $10 z$ из $8 z$ .

$\frac{- 2 z + 2 - 5 z^{2} + 40}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.9

Добавим $2$ и $40$ .

$\frac{- 2 z - 5 z^{2} + 42}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 8.10

Изменим порядок членов.

$\frac{- 5 z^{2} - 2 z + 42}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 z^{2}$ .

$\frac{- (5 z^{2}) - 2 z + 42}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 z$ .

$\frac{- (5 z^{2}) - (2 z) + 42}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 z^{2}) - (2 z)$ .

$\frac{- (5 z^{2} + 2 z) + 42}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.4

Перепишем $42$ в виде $- 1 (- 42)$ .

$\frac{- (5 z^{2} + 2 z) - 1 (- 42)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 z^{2} + 2 z) - 1 (- 42)$ .

$\frac{- (5 z^{2} + 2 z - 42)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Перепишем $- (5 z^{2} + 2 z - 42)$ в виде $- 1 (5 z^{2} + 2 z - 42)$ .

$\frac{- 1 (5 z^{2} + 2 z - 42)}{(z + 4) (z - 2)}$

Этап 9.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 z^{2} + 2 z - 42}{(z + 4) (z - 2)}$