Элемент. математика Примеры

$\frac{5 a}{a - b} + \frac{a b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{5 a}{a - b} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{5 a}{a - b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a - b) (a + b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{5 a}{a - b}$ на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a (a + b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{5 a (a + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 a (a + b) + a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a$ из $5 a (a + b) + a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $a$ из $5 a (a + b)$ .

$\frac{a (5 (a + b)) + a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $a$ из $a b$ .

$\frac{a (5 (a + b)) + a (b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a (5 (a + b)) + a (b)$ .

$\frac{a (5 (a + b) + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (5 a + 5 b + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 5.3

Добавим $5 b$ и $b$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{4 b}{a + b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{4 b}{a + b}$ на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (5 a + 6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (5 a) + a (6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 a \cdot a + a (6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 a \cdot a + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.4

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перенесем $a$ .

$\frac{5 (a \cdot a) + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.4.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 b \cdot b}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Перенесем $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 (b \cdot b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.7.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.7.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.8

Добавим $6 a b$ и $4 b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перенесем $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 a b - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.8.2

Добавим $6 a b$ и $4 a b$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$