Элемент. математика Примеры

$\frac{6}{a^{2} + 8 a + 15} + \frac{- 12}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $a^{2} + 8 a + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $8$ .

$3, 5$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} + \frac{- 12}{a^{2} + 6 a + 5}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} + 6 a + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $6$ .

$1, 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} + \frac{- 12}{(a + 1) (a + 5)}$

Этап 1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{6}{(a + 3) (a + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 3) (a + 5) (a + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{6}{(a + 3) (a + 5)}$ на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 3) (a + 5) (a + 1)} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$ на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 3) (a + 5) (a + 1)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 5) (a + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a + 3) (a + 5) (a + 1)$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 5) (a + 3)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(a + 1) (a + 5) (a + 3)$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 (a + 1) - 12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $6$ из $6 (a + 1) - 12 (a + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 12 (a + 3)$ .

$\frac{6 (a + 1) + 6 (- 2 (a + 3))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 (a + 1) + 6 (- 2 (a + 3))$ .

$\frac{6 (a + 1 - 2 (a + 3))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (a + 1 - 2 a - 2 \cdot 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{6 (a + 1 - 2 a - 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6.4

Вычтем $2 a$ из $a$ .

$\frac{6 (- a + 1 - 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 6.5

Вычтем $6$ из $1$ .

$\frac{6 (- a - 5)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $- a - 5$ и $a + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- a$ .

$\frac{6 (- (a) - 5)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (a) - 1 (5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a) - 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7.4

Перепишем $- (a + 5)$ в виде $- 1 (a + 5)$ .

$\frac{6 (- 1 (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (- 1 (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Этап 7.6

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cdot (- 1)}{(a + 1) (a + 3)}$

Этап 8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{- 6}{(a + 1) (a + 3)}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{(a + 1) (a + 3)}$