Элемент. математика Примеры

$\frac{5 z + 9}{z^{2} - 16} \cdot \frac{3 z}{z^{2} - 8 z + 16}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5 z + 9}{z^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{3 z}{z^{2} - 8 z + 16}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 4$ .

$\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{3 z}{z^{2} - 8 z + 16}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{3 z}{z^{2} - 8 z + 4^{2}}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{3 z}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2}}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 4$ .

$\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{3 z}{{(z - 4)}^{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{3 z}{{(z - 4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{5 z + 9}{(z + 4) (z - 4)}$ на $\frac{3 z}{{(z - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(5 z + 9) (3 z)}{(z + 4) (z - 4) {(z - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $z - 4$ на ${(z - 4)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем ${(z - 4)}^{2}$ .

$\frac{(5 z + 9) (3 z)}{(z + 4) ({(z - 4)}^{2} (z - 4))}$

Этап 3.2.2

Умножим ${(z - 4)}^{2}$ на $z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $z - 4$ в степень $1$ .

$\frac{(5 z + 9) (3 z)}{(z + 4) ({(z - 4)}^{2} {(z - 4)}^{1})}$

Этап 3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(5 z + 9) (3 z)}{(z + 4) {(z - 4)}^{2 + 1}}$

Этап 3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(5 z + 9) (3 z)}{(z + 4) {(z - 4)}^{3}}$

Этап 4

Перенесем $3$ влево от $5 z + 9$ .

$\frac{3 \cdot (5 z + 9) z}{(z + 4) {(z - 4)}^{3}}$

Этап 5

Изменим порядок множителей в $\frac{3 (5 z + 9) z}{(z + 4) {(z - 4)}^{3}}$ .

$\frac{3 z (5 z + 9)}{(z + 4) {(z - 4)}^{3}}$