Элемент. математика Примеры

$\frac{6 π}{π^{2} - 1} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{6 π}{π^{2} - 1^{2}} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = π$ и $b = 1$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Этап 1.2

Разложим $π^{2} - π - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(π + 1) (π - 1) (π - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ на $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ на $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π - 2) (π + 1) (π - 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(π - 2) (π + 1) (π - 1)$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 π (π - 2) - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 π π + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.2

Умножим $6 π π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.2.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π^{1}) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 π^{1 + 1} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 π^{2} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π - 3 \cdot - 1}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 6.6

Вычтем $3 π$ из $- 12 π$ .

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Десятичная форма:

$1.49066945 \dots$