Элемент. математика Примеры

$\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$ на $\frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}} \cdot \frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$ на $\frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{(5 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{25 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 5 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{23}$

Этап 3

Развернем $(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (5 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (5 - \sqrt{2})}{23}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (5 - \sqrt{2})}{23}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Этап 4.1.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Этап 4.1.4

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{23}$

Этап 4.1.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{23}$

Этап 4.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{23}$

Этап 4.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{23}$

Этап 4.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{23}$

Этап 4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{23}$

Этап 4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{23}$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{23}$

Этап 4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{1}}{23}$

Этап 4.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{23}$

Этап 4.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2}{23}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $- 10$ .

$\frac{- 12 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{23}$

Этап 4.3

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 12 + 7 \sqrt{2}}{23}$

Этап 5

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\frac{- 1 (12) + 7 \sqrt{2}}{23}$

Этап 6

Вынесем множитель $- 1$ из $7 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 (12) - (- 7 \sqrt{2})}{23}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (12) - (- 7 \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (12 - 7 \sqrt{2})}{23}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12 - 7 \sqrt{2}}{23}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{12 - 7 \sqrt{2}}{23}$

Десятичная форма:

$- 0.09132630 \dots$