Элемент. математика Примеры

$\frac{3 z + 5 z - 12}{z^{2} + 10 z + 24} + \frac{z^{2} + 4 z + 7}{z^{2} + 10 z + 24} - \frac{2 z^{2} + 5 z + z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2} + 5 z + z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $5 z$ и $z$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2} + 6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2}) - (6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - (6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 2.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $3 z$ и $5 z$ .

$\frac{8 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3.2

Добавим $8 z$ и $4 z$ .

$\frac{12 z - 12 + z^{2} + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3.3

Вычтем $6 z$ из $12 z$ .

$\frac{6 z - 12 + z^{2} + 7 - 2 z^{2}}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3.4

Добавим $- 12$ и $7$ .

$\frac{6 z + z^{2} - 5 - 2 z^{2}}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3.5

Вычтем $2 z^{2}$ из $z^{2}$ .

$\frac{6 z - z^{2} - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 3.6

Изменим порядок $6 z$ и $- z^{2}$ .

$\frac{- z^{2} + 6 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 z$ .

$\frac{- z^{2} + 6 (z) - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.1.2

Запишем $6$ как $1$ плюс $5$

$\frac{- z^{2} + (1 + 5) z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- z^{2} + 1 z + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.1.4

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{- z^{2} + z + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- z^{2} + z) + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{z (- z + 1) - 5 (- z + 1)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- z + 1$ .

$\frac{(- z + 1) (z - 5)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Этап 5

Разложим $z^{2} + 10 z + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $10$ .

$4, 6$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(- z + 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- z$ .

$\frac{(- (z) + 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (z) - 1 (- 1)) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (z) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Этап 6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $- (z - 1)$ в виде $- 1 (z - 1)$ .

$\frac{- 1 (z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Этап 6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$