Элемент. математика Примеры

$\frac{3 a}{a^{2} - 4 a - 5} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $a^{2} - 4 a - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} - 9 a + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 9$ .

$- 5, - 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ на $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ на $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(a - 5) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 a (a - 4) + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 a \cdot a + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $a$ .

$\frac{3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4 \cdot 1}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.6

Добавим $- 12 a$ и $4 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 (a) + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$\frac{3 a^{2} + (- 2 - 6) a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 a^{2} - 2 a - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 a^{2} - 2 a) - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a (3 a - 2) - 2 (3 a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Этап 6.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 a - 2$ .

$\frac{(3 a - 2) (a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$