Элемент. математика Примеры

$\frac{4 v - 1}{v^{2} - 3 v - 28} - \frac{v - 5}{v^{2} - 16}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $v^{2} - 3 v - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $- 3$ .

$- 7, 4$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{v^{2} - 16}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{v^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = v$ и $b = 4$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{v - 4}{v - 4}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} \cdot \frac{v - 4}{v - 4} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{v - 7}{v - 7}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} \cdot \frac{v - 4}{v - 4} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)} \cdot \frac{v - 7}{v - 7}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(v - 7) (v + 4) (v - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)}$ на $\frac{v - 4}{v - 4}$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v - 7) (v + 4) (v - 4)} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)} \cdot \frac{v - 7}{v - 7}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$ на $\frac{v - 7}{v - 7}$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v - 7) (v + 4) (v - 4)} - \frac{(v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(v - 7) (v + 4) (v - 4)$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)} - \frac{(v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 v - 1) (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(4 v - 1) (v - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v (v - 4) - 1 (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v \cdot v + 4 v \cdot - 4 - 1 (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v \cdot v + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перенесем $v$ .

$\frac{4 (v \cdot v) + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{4 v^{2} + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - v + 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $v$ из $- 16 v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 + (- v - - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 + (- v + 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.5

Развернем $(- v + 5) (v - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v (v - 7) + 5 (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v \cdot v - v \cdot - 7 + 5 (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v \cdot v - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Перенесем $v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - (v \cdot v) - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.6.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 7 v + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.6.1.3

Умножим $5$ на $- 7$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 7 v + 5 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.6.2

Добавим $7 v$ и $5 v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 12 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.7

Вычтем $v^{2}$ из $4 v^{2}$ .

$\frac{3 v^{2} - 17 v + 4 + 12 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.8

Добавим $- 17 v$ и $12 v$ .

$\frac{3 v^{2} - 5 v + 4 - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Этап 6.9

Вычтем $35$ из $4$ .

$\frac{3 v^{2} - 5 v - 31}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$