Элемент. математика Примеры

$\frac{5 n^{2} + 53 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \div \frac{25 n^{2} + 50 n + 16}{25 n^{2} - 35 n - 18}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{5 n^{2} + 53 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 72 = 360$ , а сумма — $b = 53$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $53$ из $53 n$ .

$\frac{5 n^{2} + 53 (n) + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2.1.2

Запишем $53$ как $8$ плюс $45$

$\frac{5 n^{2} + (8 + 45) n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 n^{2} + 8 n + 45 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 n^{2} + 8 n) + 45 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{n (5 n + 8) + 9 (5 n + 8)}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 n + 8$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 3

Вынесем множитель $7 n$ из $35 n^{2} - 63 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $7 n$ из $35 n^{2}$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n) - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $7 n$ из $- 63 n$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n) + 7 n (- 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $7 n$ из $7 n (5 n) + 7 n (- 9)$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 25 \cdot - 18 = - 450$ , а сумма — $b = - 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 35$ из $- 35 n$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 (n) - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 35$ как $10$ плюс $- 45$

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} + (10 - 45) n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} + 10 n - 45 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(25 n^{2} + 10 n) - 45 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{5 n (5 n + 2) - 9 (5 n + 2)}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 n + 2$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 25 \cdot 16 = 400$ , а сумма — $b = 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $50$ из $50 n$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 50 (n) + 16}$

Этап 5.1.2

Запишем $50$ как $10$ плюс $40$

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + (10 + 40) n + 16}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 10 n + 40 n + 16}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(25 n^{2} + 10 n) + 40 n + 16}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n (5 n + 2) + 8 (5 n + 2)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 n + 2$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 2) (5 n + 8)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $5 n + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $5 n + 8$ из $(5 n + 2) (5 n + 8)$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 8) (5 n + 2)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 8) (5 n + 2)}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{n + 9}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n + 2}$

Этап 7

Сократим общий множитель $5 n - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $5 n - 9$ из $7 n (5 n - 9)$ .

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n + 2}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $5 n - 9$ из $(5 n + 2) (5 n - 9)$ .

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n - 9) (5 n + 2)}{5 n + 2}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n - 9) (5 n + 2)}{5 n + 2}$

Этап 7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{n + 9}{7 n} \cdot \frac{5 n + 2}{5 n + 2}$

Этап 8

Умножим $\frac{n + 9}{7 n}$ на $\frac{5 n + 2}{5 n + 2}$ .

$\frac{(n + 9) (5 n + 2)}{7 n (5 n + 2)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $5 n + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + 9) (5 n + 2)}{7 n (5 n + 2)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{n + 9}{7 n}$