Элемент. математика Примеры

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \div \frac{2 a}{3 a^{2} - 5 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 a$ .

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 (a) - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 7$ как $3$ плюс $- 10$

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + (3 - 10) a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + 3 a - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{a - 2}{(6 a^{2} + 3 a) - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a - 2}{3 a (2 a + 1) - 5 (2 a + 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $a$ из $3 a^{2} - 5 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $a$ из $3 a^{2}$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $a$ из $- 5 a$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) + a \cdot - 5}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $a$ из $a (3 a) + a \cdot - 5$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $3 a - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $3 a - 5$ из $(2 a + 1) (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $3 a - 5$ из $a (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 2}{2 a + 1} \cdot \frac{a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{a - 2}{2 a + 1}$ на $\frac{a}{2 a}$ .

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) \cdot (2)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.7

Перенесем $2$ влево от $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 \cdot (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Этап 1.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 a$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 (a) + 5}$

Этап 1.8.1.2

Запишем $11$ как $1$ плюс $10$

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + (1 + 10) a + 5}$

Этап 1.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 1 a + 10 a + 5}$

Этап 1.8.1.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + a + 10 a + 5}$

Этап 1.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a^{2} + a) + 10 a + 5}$

Этап 1.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{a (2 a + 1) + 5 (2 a + 1)}$

Этап 1.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (2 a + 1) (a + 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ на $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - 2) (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a - 2) (a + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a + 5) - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $5$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} + 5 \cdot a - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{a^{2} + 5 a - 2 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $2 a$ из $5 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- (3 a) - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 3 a \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.9

Вычтем $6 a$ из $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 10 - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Этап 6.10

Вычтем $4$ из $- 10$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 14}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$