Элемент. математика Примеры

$\frac{y - 1}{y^{2} + 9 y + 20} + \frac{3 y}{y^{2} + 2 y - 8}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $y^{2} + 9 y + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $9$ .

$4, 5$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} + \frac{3 y}{y^{2} + 2 y - 8}$

Этап 1.2

Разложим $y^{2} + 2 y - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y + 4) (y + 5) (y - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)}$ на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$ на $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y (y + 5)}{(y - 2) (y + 4) (y + 5)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(y - 2) (y + 4) (y + 5)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(y - 1) (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(y - 1) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (y - 2) - 1 (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - y + 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y \cdot y + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y^{2} + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y^{2} + 15 y}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.6

Добавим $y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 3 y + 2 + 15 y}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.7

Добавим $- 3 y$ и $15 y$ .

$\frac{4 y^{2} + 12 y + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.8

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2} + 12 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 12 y + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.8.2

Вынесем множитель $2$ из $12 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (6 y) + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (6 y) + 2 (1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.8.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y^{2}) + 2 (6 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} + 6 y) + 2 (1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Этап 6.8.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y^{2} + 6 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} + 6 y + 1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$