Элемент. математика Примеры

$\frac{y + 1}{y} + \frac{y - 1}{5} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 5, 1$

Этап 1.2

Since $y, 5, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 5, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 1.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.7

НОК $1, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 1.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 1.10

НОК $y, 5, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 y$

Этап 2

Каждый член в $\frac{y + 1}{y} + \frac{y - 1}{5} = 2$ умножим на $5 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{y + 1}{y} + \frac{y - 1}{5} = 2$ на $5 y$ .

$\frac{y + 1}{y} (5 y) + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{y + 1}{y} y + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.2

Объединим $5$ и $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{5 (y + 1)}{y} y + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (y + 1)}{y} y + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$5 (y + 1) + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y + 5 \cdot 1 + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.5

Умножим $5$ на $1$ .

$5 y + 5 + \frac{y - 1}{5} (5 y) = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 y + 5 + 5 \frac{y - 1}{5} y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$5 y + 5 + 5 \frac{y - 1}{5} y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$5 y + 5 + (y - 1) y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y + 5 + y \cdot y - 1 y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.9

Умножим $y$ на $y$ .

$5 y + 5 + y^{2} - 1 y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.1.10

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$5 y + 5 + y^{2} - y = 2 (5 y)$

Этап 2.2.2

Вычтем $y$ из $5 y$ .

$4 y + 5 + y^{2} = 2 (5 y)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $5$ на $2$ .

$4 y + 5 + y^{2} = 10 y$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$4 y + 5 + y^{2} - 10 y = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $10 y$ из $4 y$ .

$- 6 y + 5 + y^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим $- 6 y + 5 + y^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 5) (y - 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 3.5

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y - 1) = 0$ верно.

$y = 5, 1$