Элемент. математика Примеры

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (z) + 4 (- 1)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Этап 1.3

Разложим $z^{2} + 6 z + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ на $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ на $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.3

Перенесем $4$ влево от $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.6

Развернем $(- 4 z + 4) (z - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1.1

Перенесем $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.7.1.1.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.7.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.7.2

Добавим $8 z$ и $4 z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.8

Вычтем $4 z^{2}$ из $z^{2}$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 6.9

Добавим $4 z$ и $12 z$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 z^{2}$ .

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $16 z$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ в виде $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ .

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Этап 7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$