Элемент. математика Примеры

$\frac{9 z^{2} + 24 z + 16}{9 z^{2} + 6 z - 8}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9 z^{2}$ в виде ${(3 z)}^{2}$ .

$\frac{{(3 z)}^{2} + 24 z + 16}{9 z^{2} + 6 z - 8}$

Этап 1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{{(3 z)}^{2} + 24 z + 4^{2}}{9 z^{2} + 6 z - 8}$

Этап 1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$24 z = 2 \cdot (3 z) \cdot 4$

Этап 1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{{(3 z)}^{2} + 2 \cdot (3 z) \cdot 4 + 4^{2}}{9 z^{2} + 6 z - 8}$

Этап 1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 3 z$ и $b = 4$ .

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{9 z^{2} + 6 z - 8}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 8 = - 72$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 z$ .

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{9 z^{2} + 6 (z) - 8}$

Этап 2.1.2

Запишем $6$ как $- 6$ плюс $12$

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{9 z^{2} + (- 6 + 12) z - 8}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{9 z^{2} - 6 z + 12 z - 8}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{(9 z^{2} - 6 z) + 12 z - 8}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{3 z (3 z - 2) + 4 (3 z - 2)}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 z - 2$ .

$\frac{{(3 z + 4)}^{2}}{(3 z - 2) (3 z + 4)}$

Этап 3

Сократим общий множитель ${(3 z + 4)}^{2}$ и $3 z + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3 z + 4$ из ${(3 z + 4)}^{2}$ .

$\frac{(3 z + 4) (3 z + 4)}{(3 z - 2) (3 z + 4)}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3 z + 4$ из $(3 z - 2) (3 z + 4)$ .

$\frac{(3 z + 4) (3 z + 4)}{(3 z + 4) (3 z - 2)}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 z + 4) (3 z + 4)}{(3 z + 4) (3 z - 2)}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 z + 4}{3 z - 2}$