Элемент. математика Примеры

$8 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$8 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.2

Применим формулу для разности углов.

$8 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 (2) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - 1$

Этап 1.5.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Этап 1.5.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Этап 1.5.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Этап 1.5.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Этап 1.5.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Этап 1.5.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Этап 1.5.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Этап 1.5.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Этап 1.5.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Этап 1.5.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - 1$

Этап 1.5.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - 1$

Этап 1.5.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.7.4

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.8

Объединим $\sqrt{6}$ и $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Этап 1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Этап 1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.10

Объединим $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.5

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + (- \sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.7

Умножим $- \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2 \cdot 6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.7.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.8

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.8.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} - 1$

Этап 1.12.8.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} - 1$

Этап 1.12.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1$

Этап 1.12.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.9.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.9.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.9.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.9.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{2} - 1$

Этап 1.12.9.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2} - 1$

Этап 1.12.9.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{2} - 1$

Этап 1.13

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2} - 1$

Этап 1.14

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{2} - 1$

Этап 1.15

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{2} - 1$

Этап 1.16

Разделим $4$ на $2$ .

$2 - 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$