Элемент. математика Примеры

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2 r$ из $4 r^{2} + 10 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2 r$ из $4 r^{2}$ .

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2 r$ из $10 r$ .

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2 r$ из $2 r (2 r) + 2 r (5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 r - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 r$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 r + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.3

Сократим выражение $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $r - 4$ является само значение $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $r + 5$ является само значение $r + 5$ .

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $r - 4, r + 5, r + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(r - 4) (r + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ умножим на $(r - 4) (r + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ на $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(r - 4) (r + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $5$ на $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1.1

Перенесем $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.5.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.6

Развернем $(r - 4) (r + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.7.1.2

Перенесем $5$ влево от $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.7.1.3

Умножим $- 4$ на $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.7.2

Вычтем $4 r$ из $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 2$ на $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 r^{2}$ из $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2 r$ из $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $r + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $r + 5$ из $(r - 4) (r + 5)$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $r$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 r$ из обеих частей уравнения.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 r$ из $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

Этап 4.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

Этап 4.3

Добавим $40$ и $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

Этап 4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 r^{2} + 4 r + 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 r^{2}$ .

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4 r$ .

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $56$ .

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 r^{2} + 2 (2 r)$ .

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ .

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

Этап 4.5

Разделим каждый член $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.2.1.2

Разделим $r^{2} + 2 r + 28$ на $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

Этап 4.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.7

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 28$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.3

Вычтем $112$ из $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

Этап 4.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$