Элемент. математика Примеры

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{7 w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{2^{2} w} + 10$

Этап 1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{7 w} - 2 = 2 \sqrt{w} + 10$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $\sqrt{7 w}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 10 + 2$

Этап 1.2.2

Добавим $10$ и $2$ .

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 12$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 w}}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 w}$ в виде ${(7 w)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 w)}^{1} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$7 w = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ в виде $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ .

$7 w = (2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w} + 12) + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$7 w = 4 \sqrt{w} \sqrt{w} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{w}$ в степень $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{w}$ в степень $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{w}}^{2}$ в виде $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

$7 w = 4 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 w = 4 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$7 w = 4 w^{1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$7 w = 4 w + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $12$ на $2$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $2$ на $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $12$ на $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 144$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $24 \sqrt{w}$ и $24 \sqrt{w}$ .

$7 w = 4 w + 48 \sqrt{w} + 144$

Этап 4

Решим относительно $48 \sqrt{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$ .

$4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $48 \sqrt{w}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 w$ из обеих частей уравнения.

$48 \sqrt{w} + 144 = 7 w - 4 w$

Этап 4.2.2

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$48 \sqrt{w} = 7 w - 4 w - 144$

Этап 4.2.3

Вычтем $4 w$ из $7 w$ .

$48 \sqrt{w} = 3 w - 144$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(48 \sqrt{w})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $48 w^{\frac{1}{2}}$ .

$48^{2} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $48$ в степень $2$ .

$2304 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2304 w^{1} = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$2304 w = {(3 w - 144)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(3 w - 144)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(3 w - 144)}^{2}$ в виде $(3 w - 144) (3 w - 144)$ .

$2304 w = (3 w - 144) (3 w - 144)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(3 w - 144) (3 w - 144)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2304 w = 3 w (3 w - 144) - 144 (3 w - 144)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w - 144)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2304 w = 3 \cdot 3 w \cdot w + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 (w \cdot w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $w$ на $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 144$ на $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w - 144 \cdot - 144$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 144$ на $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w + 20736$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $432 w$ из $- 432 w$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 864 w + 20736$

Этап 7

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $w$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 = 2304 w$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $w$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $2304 w$ из обеих частей уравнения.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 - 2304 w = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $2304 w$ из $- 864 w$ .

$9 w^{2} - 3168 w + 20736 = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $9$ из $9 w^{2} - 3168 w + 20736$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 w^{2}$ .

$9 (w^{2}) - 3168 w + 20736 = 0$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $9$ из $- 3168 w$ .

$9 (w^{2}) + 9 (- 352 w) + 20736 = 0$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $9$ из $20736$ .

$9 w^{2} + 9 (- 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $9$ из $9 w^{2} + 9 (- 352 w)$ .

$9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Этап 7.3.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304$ .

$9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$

Этап 7.4

Разделим каждый член $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ на $9$ .

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $w^{2} - 352 w + 2304$ на $1$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = \frac{0}{9}$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = 0$

Этап 7.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 352$ и $c = 2304$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $w$ .

$\frac{352 \pm \sqrt{{(- 352)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2304)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Возведем $- 352$ в степень $2$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 1 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2304$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2304$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 9216}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.3

Вычтем $9216$ из $123904$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{114688}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.4

Перепишем $114688$ в виде $128^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.4.1

Вынесем множитель $16384$ из $114688$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{16384 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.4.2

Перепишем $16384$ в виде $128^{2}$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{128^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$

Этап 7.7.3

Упростим $\frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$ .

$w = 176 \pm 64 \sqrt{7}$

Этап 7.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}, 176 - 64 \sqrt{7}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$ истинным.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Десятичная форма:

$w = 345.32808390 \dots$