Элемент. математика Примеры

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y^{2} - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - 18 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 18 y$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y + y \cdot - 18}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot - 18$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Этап 1.2

Разложим $y^{2} + 2 y - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 4, (y - 2) (y + 4), y - 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y + 4$ является само значение $y + 4$ .

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y + 4$ является само значение $y + 4$ .

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $y + 4, y - 2, y + 4, y - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 4) (y - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ умножим на $(y + 4) (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ на $(y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(y + 1) (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.2

Развернем $(y + 1) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (y - 2) + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$y^{2} - 2 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} - 2 y + y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$y^{2} - 2 y + y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 2 y$ и $y$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(y + 4) (y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $(y + 4) (y - 2)$ из $(y - 2) (y + 4)$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) (1)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) \cdot 1} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} - y - 2 = y (y - 18) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - y - 2 = y \cdot y + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.4

Перенесем $- 18$ влево от $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 \cdot y - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y + 4}{y - 2}$ в числитель.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y + 4) (y - 2)$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - (y + 4) (y + 4)$

Этап 3.3.1.6

Возведем $y + 4$ в степень $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} (y + 4))$

Этап 3.3.1.7

Возведем $y + 4$ в степень $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1})$

Этап 3.3.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} = y^{2} - y - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} = - y - 2$

Этап 4.2.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y = - 2$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + 0 + y = - 2$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 18 y - {(y + 4)}^{2}$ и $0$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + y = - 2$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перепишем ${(y + 4)}^{2}$ в виде $(y + 4) (y + 4)$ .

$- 18 y - ((y + 4) (y + 4)) + y = - 2$

Этап 4.2.4.2

Развернем $(y + 4) (y + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 18 y - (y (y + 4) + 4 (y + 4)) + y = - 2$

Этап 4.2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) + y = - 2$

Этап 4.2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Этап 4.2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Этап 4.2.4.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Этап 4.2.4.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) + y = - 2$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $4 y$ и $4 y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 8 y + 16) + y = - 2$

Этап 4.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 18 y - y^{2} - (8 y) - 1 \cdot 16 + y = - 2$

Этап 4.2.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 1 \cdot 16 + y = - 2$

Этап 4.2.4.5.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 16 + y = - 2$

Этап 4.2.5

Вычтем $8 y$ из $- 18 y$ .

$- y^{2} - 26 y - 16 + y = - 2$

Этап 4.2.6

Добавим $- 26 y$ и $y$ .

$- y^{2} - 25 y - 16 = - 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- y^{2} - 25 y - 16 + 2 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $- 16$ и $2$ .

$- y^{2} - 25 y - 14 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 25$ и $c = - 14$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 25$ в степень $2$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 1 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 14$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 56}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $56$ из $625$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{- 2}$

Этап 4.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

Десятичная форма:

$y = - 24.42686044 \dots, - 0.57313955 \dots$