Элемент. математика Примеры

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

Этап 1

Вычтем $11 \cdot 10^{3 y}$ из обеих частей уравнения.

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Этап 2

Перепишем $10^{6 y}$ в виде степенного выражения.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Этап 3

Перепишем $10^{3 y}$ в виде степенного выражения.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $10^{y}$ .

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

Этап 5

Умножим $- 11$ на $u^{3}$ .

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $u^{6}$ в виде ${(u^{3})}^{2}$ .

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Этап 6.2.2

Пусть $u = u^{3}$ . Подставим $u$ вместо $u^{3}$ для всех.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Этап 6.2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Этап 6.2.3.1.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Этап 6.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Этап 6.2.3.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Этап 6.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Этап 6.2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Этап 6.2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Этап 6.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $u^{3}$ .

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 u^{3} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 u^{3} + 1$ к $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 u^{3} + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 u^{3} = - 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 u^{3} = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u^{3} = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $u^{3}$ на $1$ .

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

Этап 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

Этап 6.4.2.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

Этап 6.4.2.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

Этап 6.4.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Этап 6.4.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Этап 6.4.2.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 6.4.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 6.4.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 6.4.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 6.4.2.4.7.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 6.4.2.4.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 6.4.2.4.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 6.4.2.4.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 6.4.2.4.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 6.4.2.4.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 6.4.2.4.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 6.4.2.4.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 6.4.2.4.7.5.5

Найдем экспоненту.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 6.4.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.8.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 6.4.2.4.8.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $u^{3} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $u^{3} - 4$ к $0$ .

$u^{3} - 4 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $u^{3} - 4 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u^{3} = 4$

Этап 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ верно.

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

Этап 7

Подставим $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ вместо $u$ в $u = 10^{y}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

Этап 8

Решим $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ .

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 8.2

Возьмем логарифм по основанию $10$ обеих частей уравнения, чтобы избавиться от переменной в показателе степени.

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

Этап 8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ не определено.

Неопределенные

Этап 8.4

Нет решения для $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Нет решения

Этап 9

Подставим $\sqrt[3]{4}$ вместо $u$ в $u = 10^{y}$ .

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

Этап 10

Решим $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ .

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

Этап 10.2

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

Этап 10.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Развернем $\log (10^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

Этап 10.3.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

Этап 10.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Десятичная форма:

$y = 0.20068666 \dots$