Элемент. математика Примеры

$1 - \frac{1}{4 t - 1} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{4 t - 1} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} - 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 t - 1, {(4 t - 1)}^{2}, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $4 t - 1$ является само значение $4 t - 1$ .

$(4 t - 1) = 4 t - 1$

$(4 t - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множители $4 t - 1$ — это $(4 t - 1) \cdot (4 t - 1)$ , то есть $4 t - 1$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(4 t - 1) = (4 t - 1) \cdot (4 t - 1)$

$(4 t - 1)$ встречается $2$ раз.

Этап 2.7

НОК $4 t - 1, {(4 t - 1)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{1}{4 t - 1} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} - 1$ умножим на ${(4 t - 1)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{4 t - 1} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} - 1$ на ${(4 t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 t - 1} {(4 t - 1)}^{2} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4 t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4 t - 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{4 t - 1} {(4 t - 1)}^{2} = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $4 t - 1$ из ${(4 t - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 1}{4 t - 1} ((4 t - 1) (4 t - 1)) = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4 t - 1} ((4 t - 1) (4 t - 1)) = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- (4 t - 1) = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 t) - - 1 = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 t - - 1 = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 t + 1 = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель ${(4 t - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- 4 t + 1 = \frac{20}{{(4 t - 1)}^{2}} {(4 t - 1)}^{2} - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- 4 t + 1 = 20 - {(4 t - 1)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $20 - {(4 t - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем ${(4 t - 1)}^{2}$ в виде $(4 t - 1) (4 t - 1)$ .

$- 4 t + 1 = 20 - ((4 t - 1) (4 t - 1))$

Этап 4.1.1.2

Развернем $(4 t - 1) (4 t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 t + 1 = 20 - (4 t (4 t - 1) - 1 (4 t - 1))$

Этап 4.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 t + 1 = 20 - (4 t (4 t) + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t - 1))$

Этап 4.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 t + 1 = 20 - (4 t (4 t) + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 t + 1 = 20 - (4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1.2.1

Перенесем $t$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2} + 4 t \cdot - 1 - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2} - 4 t - 1 (4 t) - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2} - 4 t - 4 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2} - 4 t - 4 t + 1)$

Этап 4.1.1.3.2

Вычтем $4 t$ из $- 4 t$ .

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2} - 8 t + 1)$

Этап 4.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 t + 1 = 20 - (16 t^{2}) - (- 8 t) - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.5.1

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 4 t + 1 = 20 - 16 t^{2} - (- 8 t) - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.1.5.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- 4 t + 1 = 20 - 16 t^{2} + 8 t - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 t + 1 = 20 - 16 t^{2} + 8 t - 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $1$ из $20$ .

$- 4 t + 1 = - 16 t^{2} + 8 t + 19$

Этап 4.2

Поскольку $t$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 16 t^{2} + 8 t + 19 = - 4 t + 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $t$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $4 t$ к обеим частям уравнения.

$- 16 t^{2} + 8 t + 19 + 4 t = 1$

Этап 4.3.2

Добавим $8 t$ и $4 t$ .

$- 16 t^{2} + 12 t + 19 = 1$

Этап 4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 16 t^{2} + 12 t + 19 - 1 = 0$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из $19$ .

$- 16 t^{2} + 12 t + 18 = 0$

Этап 4.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 16 t^{2} + 12 t + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 16 t^{2}$ .

$- 2 (8 t^{2}) + 12 t + 18 = 0$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $12 t$ .

$- 2 (8 t^{2}) - 2 (- 6 t) + 18 = 0$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $18$ .

$- 2 (8 t^{2}) - 2 (- 6 t) - 2 \cdot - 9 = 0$

Этап 4.6.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (8 t^{2}) - 2 (- 6 t)$ .

$- 2 (8 t^{2} - 6 t) - 2 \cdot - 9 = 0$

Этап 4.6.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (8 t^{2} - 6 t) - 2 (- 9)$ .

$- 2 (8 t^{2} - 6 t - 9) = 0$

Этап 4.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 9 = - 72$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 t$ .

$- 2 (8 t^{2} - 6 t - 9) = 0$

Этап 4.6.2.1.1.2

Запишем $- 6$ как $6$ плюс $- 12$

$- 2 (8 t^{2} + (6 - 12) t - 9) = 0$

Этап 4.6.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (8 t^{2} + 6 t - 12 t - 9) = 0$

Этап 4.6.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 ((8 t^{2} + 6 t) - 12 t - 9) = 0$

Этап 4.6.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 2 (2 t (4 t + 3) - 3 (4 t + 3)) = 0$

Этап 4.6.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 t + 3$ .

$- 2 ((4 t + 3) (2 t - 3)) = 0$

Этап 4.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (4 t + 3) (2 t - 3) = 0$

Этап 4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 t + 3 = 0$

$2 t - 3 = 0$

Этап 4.8

Приравняем $4 t + 3$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $4 t + 3$ к $0$ .

$4 t + 3 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $4 t + 3 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 t = - 3$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $4 t = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $4 t = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.8.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3}{4}$

Этап 4.9

Приравняем $2 t - 3$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $2 t - 3$ к $0$ .

$2 t - 3 = 0$

Этап 4.9.2

Решим $2 t - 3 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 t = 3$

Этап 4.9.2.2

Разделим каждый член $2 t = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.2.1

Разделим каждый член $2 t = 3$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.9.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{3}{2}$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (4 t + 3) (2 t - 3) = 0$ верно.

$t = - \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = - \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$t = - 0.75, 1.5$

Форма смешанных чисел:

$t = - \frac{3}{4}, 1 \frac{1}{2}$