Элемент. математика Примеры

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

Этап 1

Решим относительно $R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ .

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

Этап 1.2

Упростим $r \cdot (R - H)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

Этап 1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ в виде ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(r R - r H)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(r R - r H)}^{2}$ в виде $(r R - r H) (r R - r H)$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(r R - r H) (r R - r H)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Перенесем $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $R$ на $R$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $R$ на $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Перенесем $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $r$ на $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $r$ на $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.6.1

Перенесем $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

Этап 3.3.1.3.1.6.2

Умножим $r$ на $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $H$ на $H$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.7.1

Перенесем $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.7.2

Умножим $H$ на $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.8

Умножим $- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.8.2

Умножим $r^{2}$ на $1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $r^{2} H R$ из $- r^{2} R H$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Перенесем $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Этап 3.3.1.3.2.2

Вычтем $r^{2} H R$ из $- r^{2} H R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Этап 4

Решим относительно $H$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $H$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

Этап 4.2

Вычтем $R^{2} H^{2}$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $H$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $r^{2} R^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $R^{2} r^{2}$ и $- r^{2} R^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $R^{2} r^{2}$ из $R^{2} r^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Этап 4.4

Вынесем множитель $H$ из $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $H$ из $- 2 r^{2} H R$ .

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $H$ из $r^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $H$ из $- R^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $H$ из $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель $H$ из $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Этап 4.6

Приравняем $H$ к $0$ .

$H = 0$

Этап 4.7

Приравняем $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ к $0$ , затем решим относительно $H$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ к $0$ .

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Этап 4.7.2

Решим $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ относительно $H$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Добавим $2 r^{2} R$ к обеим частям уравнения.

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.2

Вынесем множитель $H$ из $r^{2} H - R^{2} H$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Вынесем множитель $H$ из $r^{2} H$ .

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.2.2

Вынесем множитель $H$ из $- R^{2} H$ .

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.2.3

Вынесем множитель $H$ из $H r^{2} + H (- R^{2})$ .

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = R$ .

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

Этап 4.7.2.4

Разделим каждый член $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ на $(r + R) (r - R)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.1

Разделим каждый член $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ на $(r + R) (r - R)$ .

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Этап 4.7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $r + R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Этап 4.7.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Этап 4.7.2.4.2.2

Сократим общий множитель $r - R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Этап 4.7.2.4.2.2.2

Разделим $H$ на $1$ .

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ верно.

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$