Элемент. математика Примеры

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Этап 2

Перепишем $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ в виде $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ в виде $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Этап 4

Решим уравнение относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Этап 4.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ из обеих частей уравнения.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Этап 4.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ на $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Этап 4.5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Этап 4.6

Упростим $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Этап 4.6.1.2

Умножим $2 (1 + 4^{n})$ на $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Этап 4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Этап 4.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Этап 4.6.4

Умножим $2 \cdot 4^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Этап 4.6.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Этап 4.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Этап 4.7

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вычтем $2^{1 + 2 n}$ из обеих частей уравнения.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Развернем $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Умножим $2^{n}$ на $2^{n}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.1.2

Добавим $n$ и $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.2

Умножим $2^{n}$ на $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.3

Умножим $2^{- n}$ на $2^{n}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.3.2

Добавим $- n$ и $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.4

Упростим $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.7.2.2.5

Умножим $2^{- n}$ на $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Этап 4.8

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Этап 4.8.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Этап 4.9

Перепишем $2^{1 + 2 n}$ в виде $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Этап 4.10

Перепишем $2^{2 n}$ в виде степенного выражения.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Этап 4.11

Перепишем $2^{- n}$ в виде степенного выражения.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Этап 4.12

Перепишем $2^{2 n}$ в виде степенного выражения.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Этап 4.13

Избавимся от скобок.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Этап 4.14

Подставим $u$ вместо $2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Этап 4.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Этап 4.15.2

Найдем экспоненту.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Этап 4.15.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Этап 4.16

Вычтем $2 u^{2}$ из $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Этап 4.17

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, u, 1$

Этап 4.17.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.17.2

Каждый член в $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.1

Умножим каждый член $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ на $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.2.1.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.2.1.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.3

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Этап 4.17.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Этап 4.17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.3.1

Умножим $u$ на $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Этап 4.17.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.1

Вычтем $u$ из обеих частей уравнения.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Этап 4.17.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.2.1

Изменим порядок членов.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Этап 4.17.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Этап 4.17.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Этап 4.17.3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Этап 4.17.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Этап 4.17.3.4

Приравняем $- u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.4.1

Приравняем $- u + 1$ к $0$ .

$- u + 1 = 0$

Этап 4.17.3.4.2

Решим $- u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- u = - 1$

Этап 4.17.3.4.2.2

Разделим каждый член $- u = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- u = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.17.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.17.3.4.2.2.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.17.3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$u = 1$

Этап 4.17.3.5

Приравняем $u^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.5.1

Приравняем $u^{2} + 1$ к $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Этап 4.17.3.5.2

Решим $u^{2} + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} = - 1$

Этап 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.17.3.5.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \pm i$

Этап 4.17.3.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = i$

Этап 4.17.3.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - i$

Этап 4.17.3.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = i, - i$

Этап 4.17.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ верно.

$u = 1, i, - i$

Этап 4.18

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Этап 4.19

Решим $1 = 2^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перепишем уравнение в виде $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Этап 4.19.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Этап 4.19.3

Развернем $\ln (2^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Этап 4.19.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Этап 4.19.5

Разделим каждый член $n \ln (2) = 0$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.1

Разделим каждый член $n \ln (2) = 0$ на $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Этап 4.19.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Этап 4.19.5.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Этап 4.19.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (2)$ .

$n = 0$

Этап 4.20

Подставим $i$ вместо $u$ в $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Этап 4.21

Решим $i = 2^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Перепишем уравнение в виде $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Этап 4.21.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Этап 4.21.3

Развернем $\ln (2^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Этап 4.21.4

Разделим каждый член $n \ln (2) = \ln (i)$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.4.1

Разделим каждый член $n \ln (2) = \ln (i)$ на $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Этап 4.21.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Этап 4.21.4.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Этап 4.22

Подставим $- i$ вместо $u$ в $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Этап 4.23

Решим $- i = 2^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Перепишем уравнение в виде $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Этап 4.23.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Этап 4.23.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- i)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.23.4

Нет решения для $2^{n} = - i$

Нет решения

Этап 4.24

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$