Введите задачу...
Элемент. математика Примеры
2n+2-n2=1+4n2n+12n+2−n2=1+4n2n+1
Этап 1
Возьмем логарифм обеих частей уравнения.
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n2n+1)ln(2n+2−n2)=ln(1+4n2n+1)
Этап 2
Перепишем ln(2n+2-n2)ln(2n+2−n2) в виде ln(2n+2-n)-ln(2)ln(2n+2−n)−ln(2).
ln(2n+2-n)-ln(2)=ln(1+4n2n+1)ln(2n+2−n)−ln(2)=ln(1+4n2n+1)
Этап 3
Перепишем ln(1+4n2n+1)ln(1+4n2n+1) в виде ln(1+4n)-ln(2n+1)ln(1+4n)−ln(2n+1).
ln(2n+2-n)-ln(2)=ln(1+4n)-ln(2n+1)ln(2n+2−n)−ln(2)=ln(1+4n)−ln(2n+1)
Этап 4
Этап 4.1
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: logb(x)-logb(y)=logb(xy)logb(x)−logb(y)=logb(xy).
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n)-ln(2n+1)ln(2n+2−n2)=ln(1+4n)−ln(2n+1)
Этап 4.2
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: logb(x)-logb(y)=logb(xy)logb(x)−logb(y)=logb(xy).
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n2n+1)ln(2n+2−n2)=ln(1+4n2n+1)
Этап 4.3
Перенесем все члены с nn в левую часть уравнения.
Этап 4.3.1
Вычтем ln(1+4n2n+1)ln(1+4n2n+1) из обеих частей уравнения.
ln(2n+2-n2)-ln(1+4n2n+1)=0ln(2n+2−n2)−ln(1+4n2n+1)=0
Этап 4.3.2
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: logb(x)-logb(y)=logb(xy)logb(x)−logb(y)=logb(xy).
ln(2n+2-n21+4n2n+1)=0ln⎛⎝2n+2−n21+4n2n+1⎞⎠=0
Этап 4.3.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
ln(2n+2-n2⋅2n+11+4n)=0ln(2n+2−n2⋅2n+11+4n)=0
Этап 4.3.4
Умножим 2n+2-n22n+2−n2 на 2n+11+4n2n+11+4n.
ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0ln((2n+2−n)(2n+1)2(1+4n))=0
ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0ln((2n+2−n)(2n+1)2(1+4n))=0
Этап 4.4
Перепишем ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0ln((2n+2−n)(2n+1)2(1+4n))=0 в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если xx и bb являются положительными вещественными числами и bb≠≠11, то logb(x)=ylogb(x)=y эквивалентно by=xby=x.
e0=(2n+2-n)(2n+1)2(1+4n)e0=(2n+2−n)(2n+1)2(1+4n)
Этап 4.5
С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.
(2n+2-n)(2n+1)=e0(2(1+4n))(2n+2−n)(2n+1)=e0(2(1+4n))
Этап 4.6
Упростим e0(2(1+4n))e0(2(1+4n)).
Этап 4.6.1
Упростим выражение.
Этап 4.6.1.1
Любое число в степени 00 равно 11.
(2n+2-n)(2n+1)=1(2(1+4n))(2n+2−n)(2n+1)=1(2(1+4n))
Этап 4.6.1.2
Умножим 2(1+4n)2(1+4n) на 11.
(2n+2-n)(2n+1)=2(1+4n)(2n+2−n)(2n+1)=2(1+4n)
(2n+2-n)(2n+1)=2(1+4n)(2n+2−n)(2n+1)=2(1+4n)
Этап 4.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
(2n+2-n)(2n+1)=2⋅1+2⋅4n(2n+2−n)(2n+1)=2⋅1+2⋅4n
Этап 4.6.3
Умножим 22 на 11.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅4n(2n+2−n)(2n+1)=2+2⋅4n
Этап 4.6.4
Умножим 2⋅4n2⋅4n.
Этап 4.6.4.1
Перепишем 44 в виде 2222.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅(22)n(2n+2−n)(2n+1)=2+2⋅(22)n
Этап 4.6.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, (am)n=amn(am)n=amn.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅22n(2n+2−n)(2n+1)=2+2⋅22n
Этап 4.6.4.3
Применим правило степени aman=am+naman=am+n для объединения показателей.
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n(2n+2−n)(2n+1)=2+21+2n
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n(2n+2−n)(2n+1)=2+21+2n
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n(2n+2−n)(2n+1)=2+21+2n
Этап 4.7
Перенесем все члены с nn в левую часть уравнения.
Этап 4.7.1
Вычтем 21+2n21+2n из обеих частей уравнения.
(2n+2-n)(2n+1)-21+2n=2(2n+2−n)(2n+1)−21+2n=2
Этап 4.7.2
Упростим каждый член.
Этап 4.7.2.1
Развернем (2n+2-n)(2n+1)(2n+2−n)(2n+1), используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 4.7.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
2n(2n+1)+2-n(2n+1)-21+2n=22n(2n+1)+2−n(2n+1)−21+2n=2
Этап 4.7.2.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
2n⋅2n+2n⋅1+2-n(2n+1)-21+2n=22n⋅2n+2n⋅1+2−n(2n+1)−21+2n=2
Этап 4.7.2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
2n⋅2n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=22n⋅2n+2n⋅1+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
2n⋅2n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=22n⋅2n+2n⋅1+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2
Упростим каждый член.
Этап 4.7.2.2.1
Умножим 2n2n на 2n2n, сложив экспоненты.
Этап 4.7.2.2.1.1
Применим правило степени aman=am+naman=am+n для объединения показателей.
2n+n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=22n+n+2n⋅1+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2.1.2
Добавим nn и nn.
22n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=222n+2n⋅1+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
22n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=222n+2n⋅1+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2.2
Умножим 2n2n на 11.
22n+2n+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=222n+2n+2−n⋅2n+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2.3
Умножим 2-n2−n на 2n2n, сложив экспоненты.
Этап 4.7.2.2.3.1
Применим правило степени aman=am+naman=am+n для объединения показателей.
22n+2n+2-n+n+2-n⋅1-21+2n=222n+2n+2−n+n+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2.3.2
Добавим -n−n и nn.
22n+2n+20+2-n⋅1-21+2n=222n+2n+20+2−n⋅1−21+2n=2
22n+2n+20+2-n⋅1-21+2n=222n+2n+20+2−n⋅1−21+2n=2
Этап 4.7.2.2.4
Упростим 20.
22n+2n+1+2-n⋅1-21+2n=2
Этап 4.7.2.2.5
Умножим 2-n на 1.
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
Этап 4.8
Перенесем все члены без n в правую часть уравнения.
Этап 4.8.1
Вычтем 1 из обеих частей уравнения.
22n+2n+2-n-21+2n=2-1
Этап 4.8.2
Вычтем 1 из 2.
22n+2n+2-n-21+2n=1
22n+2n+2-n-21+2n=1
Этап 4.9
Перепишем 21+2n в виде 21⋅22n.
22n+2n+2-n-(2⋅22n)=1
Этап 4.10
Перепишем 22n в виде степенного выражения.
(2n)2+2n+2-n-(2⋅22n)=1
Этап 4.11
Перепишем 2-n в виде степенного выражения.
(2n)2+2n+(2n)-1-(2⋅22n)=1
Этап 4.12
Перепишем 22n в виде степенного выражения.
(2n)2+2n+(2n)-1-(2⋅(2n)2)=1
Этап 4.13
Избавимся от скобок.
(2n)2+2n+(2n)-1-2(2n)2=1
Этап 4.14
Подставим u вместо 2n.
u2+u+u-1-2u2=1
Этап 4.15
Упростим каждый член.
Этап 4.15.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
u2+u+1u-2u2=1
Этап 4.15.2
Найдем экспоненту.
u2+u+1u-1⋅(2u2)=1
Этап 4.15.3
Умножим -1 на 2.
u2+u+1u-2u2=1
u2+u+1u-2u2=1
Этап 4.16
Вычтем 2u2 из u2.
-u2+u+1u=1
Этап 4.17
Решим относительно u.
Этап 4.17.1
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 4.17.1.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
1,1,u,1
Этап 4.17.1.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
u
u
Этап 4.17.2
Каждый член в -u2+u+1u=1 умножим на u, чтобы убрать дроби.
Этап 4.17.2.1
Умножим каждый член -u2+u+1u=1 на u.
-u2u+u⋅u+1uu=1u
Этап 4.17.2.2
Упростим левую часть.
Этап 4.17.2.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.17.2.2.1.1
Умножим u2 на u, сложив экспоненты.
Этап 4.17.2.2.1.1.1
Перенесем u.
-(u⋅u2)+u⋅u+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.1.2
Умножим u на u2.
Этап 4.17.2.2.1.1.2.1
Возведем u в степень 1.
-(u1u2)+u⋅u+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.1.2.2
Применим правило степени aman=am+n для объединения показателей.
-u1+2+u⋅u+1uu=1u
-u1+2+u⋅u+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.1.3
Добавим 1 и 2.
-u3+u⋅u+1uu=1u
-u3+u⋅u+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.2
Умножим u на u.
-u3+u2+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.3
Сократим общий множитель u.
Этап 4.17.2.2.1.3.1
Сократим общий множитель.
-u3+u2+1uu=1u
Этап 4.17.2.2.1.3.2
Перепишем это выражение.
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
Этап 4.17.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.17.2.3.1
Умножим u на 1.
-u3+u2+1=u
-u3+u2+1=u
-u3+u2+1=u
Этап 4.17.3
Решим уравнение.
Этап 4.17.3.1
Вычтем u из обеих частей уравнения.
-u3+u2+1-u=0
Этап 4.17.3.2
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 4.17.3.2.1
Изменим порядок членов.
-u3+u2-u+1=0
Этап 4.17.3.2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Этап 4.17.3.2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
(-u3+u2)-u+1=0
Этап 4.17.3.2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
u2(-u+1)+1(-u+1)=0
u2(-u+1)+1(-u+1)=0
Этап 4.17.3.2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель -u+1.
(-u+1)(u2+1)=0
(-u+1)(u2+1)=0
Этап 4.17.3.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 0, все выражение равно 0.
-u+1=0
u2+1=0
Этап 4.17.3.4
Приравняем -u+1 к 0, затем решим относительно u.
Этап 4.17.3.4.1
Приравняем -u+1 к 0.
-u+1=0
Этап 4.17.3.4.2
Решим -u+1=0 относительно u.
Этап 4.17.3.4.2.1
Вычтем 1 из обеих частей уравнения.
-u=-1
Этап 4.17.3.4.2.2
Разделим каждый член -u=-1 на -1 и упростим.
Этап 4.17.3.4.2.2.1
Разделим каждый член -u=-1 на -1.
-u-1=-1-1
Этап 4.17.3.4.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 4.17.3.4.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
u1=-1-1
Этап 4.17.3.4.2.2.2.2
Разделим u на 1.
u=-1-1
u=-1-1
Этап 4.17.3.4.2.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.17.3.4.2.2.3.1
Разделим -1 на -1.
u=1
u=1
u=1
u=1
u=1
Этап 4.17.3.5
Приравняем u2+1 к 0, затем решим относительно u.
Этап 4.17.3.5.1
Приравняем u2+1 к 0.
u2+1=0
Этап 4.17.3.5.2
Решим u2+1=0 относительно u.
Этап 4.17.3.5.2.1
Вычтем 1 из обеих частей уравнения.
u2=-1
Этап 4.17.3.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
u=±√-1
Этап 4.17.3.5.2.3
Перепишем √-1 в виде i.
u=±i
Этап 4.17.3.5.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 4.17.3.5.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения ± найдем первое решение.
u=i
Этап 4.17.3.5.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение ±, найдем второе решение.
u=-i
Этап 4.17.3.5.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
u=i,-i
u=i,-i
u=i,-i
u=i,-i
Этап 4.17.3.6
Окончательным решением являются все значения, при которых (-u+1)(u2+1)=0 верно.
u=1,i,-i
u=1,i,-i
u=1,i,-i
Этап 4.18
Подставим 1 вместо u в u=2n.
1=2n
Этап 4.19
Решим 1=2n.
Этап 4.19.1
Перепишем уравнение в виде 2n=1.
2n=1
Этап 4.19.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(2n)=ln(1)
Этап 4.19.3
Развернем ln(2n), вынося n из логарифма.
nln(2)=ln(1)
Этап 4.19.4
Упростим правую часть.
Этап 4.19.4.1
Натуральный логарифм 1 равен 0.
nln(2)=0
nln(2)=0
Этап 4.19.5
Разделим каждый член nln(2)=0 на ln(2) и упростим.
Этап 4.19.5.1
Разделим каждый член nln(2)=0 на ln(2).
nln(2)ln(2)=0ln(2)
Этап 4.19.5.2
Упростим левую часть.
Этап 4.19.5.2.1
Сократим общий множитель ln(2).
Этап 4.19.5.2.1.1
Сократим общий множитель.
nln(2)ln(2)=0ln(2)
Этап 4.19.5.2.1.2
Разделим n на 1.
n=0ln(2)
n=0ln(2)
n=0ln(2)
Этап 4.19.5.3
Упростим правую часть.
Этап 4.19.5.3.1
Разделим 0 на ln(2).
n=0
n=0
n=0
n=0
Этап 4.20
Подставим i вместо u в u=2n.
i=2n
Этап 4.21
Решим i=2n.
Этап 4.21.1
Перепишем уравнение в виде 2n=i.
2n=i
Этап 4.21.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(2n)=ln(i)
Этап 4.21.3
Развернем ln(2n), вынося n из логарифма.
nln(2)=ln(i)
Этап 4.21.4
Разделим каждый член nln(2)=ln(i) на ln(2) и упростим.
Этап 4.21.4.1
Разделим каждый член nln(2)=ln(i) на ln(2).
nln(2)ln(2)=ln(i)ln(2)
Этап 4.21.4.2
Упростим левую часть.
Этап 4.21.4.2.1
Сократим общий множитель ln(2).
Этап 4.21.4.2.1.1
Сократим общий множитель.
nln(2)ln(2)=ln(i)ln(2)
Этап 4.21.4.2.1.2
Разделим n на 1.
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
Этап 4.22
Подставим -i вместо u в u=2n.
-i=2n
Этап 4.23
Решим -i=2n.
Этап 4.23.1
Перепишем уравнение в виде 2n=-i.
2n=-i
Этап 4.23.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(2n)=ln(-i)
Этап 4.23.3
Уравнение невозможно решить, так как выражение ln(-i) не определено.
Неопределенные
Этап 4.23.4
Нет решения для 2n=-i
Нет решения
Нет решения
Этап 4.24
Перечислим решения, делающие уравнение истинным.
n=0,ln(i)ln(2)
n=0,ln(i)ln(2)