Элемент. математика Примеры

$\sin (y) + \cos (y) = 1$

Этап 1

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = {(1)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ в виде $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ .

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2

Развернем $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\sin (y) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $\cos (y) \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (y) \cos (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $\cos (y) \sin (y)$ и $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.4

Перенесем $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Изменим порядок $2 \cos (y)$ и $\sin (y)$ .

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.6.2

Изменим порядок $\sin (y)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = {(1)}^{2}$

Этап 2.6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 y) = {(1)}^{2}$

Этап 3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \sin (2 y) = 1$

Этап 4

Перенесем все члены без $\sin (2 y)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 y) = 1 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sin (2 y) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$2 y = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 y = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y = 0$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 y = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 y = π + 0$

Этап 9.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 y = π$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 y = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 y = π$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{π}{2}$

Этап 10

Найдем период $\sin (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11

Период функции $\sin (2 y)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$y = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$y = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 13

Проверим каждое решение, подставив его в $\sin (y) + \cos (y) = 1$ и решив.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$