Элемент. математика Примеры

$\frac{4 x^{2} - 196}{5 x^{2} + 20 x} \div \frac{x^{2} + 14 x + 49}{x^{2} + 11 x + 28}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{4 x^{2} - 196}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 196$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 196}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 196$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 49}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot - 49$ .

$\frac{4 (x^{2} - 49)}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 2.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7^{2})}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{2} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x) + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5 x$ из $20 x$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x) + 5 x (4)} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x) + 5 x (4)$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 11 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $28$ , а сумма — $11$ .

$4, 7$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 14 x + 49}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 14 x + 7^{2}}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x + 7$ и ${(x + 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x + 7$ из $4 (x + 7) (x - 7) ((x + 4) (x + 7))$ .

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $x + 7$ из $5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{(x + 7) (5 x (x + 4) (x + 7))}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{(x + 7) (5 x (x + 4) (x + 7))}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) (x + 7)}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 7) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) (x + 7)}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 (x - 7)) (x + 7)}{5 x (x + 7)}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 7) (x + 7)}{5 x (x + 7)}$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x - 7)}{5 x}$