Элемент. математика Примеры

${(1 - i)}^{6}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 \cdot 1 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$1 + 6 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 6 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.6

Умножим $15$ на $1$ .

$1 - 6 i + 15 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 6 i + 15 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 6 i + 15 (1 i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.9

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.11

Умножим $15$ на $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.13

Умножим $20$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.16

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.18

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- - i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (1 i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.20

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.21

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.22

Умножим $15$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.23

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.24

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 (1 i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.25

Умножим $i^{4}$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.26

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.26.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.26.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.27

Умножим $15$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.28

Умножим $6$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.29

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.30

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.31

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.32

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.32.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.32.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.32.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.33

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i) + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.34

Умножим $- 1$ на $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- i)}^{6}$

Этап 2.1.35

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

Этап 2.1.36

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{6}$

Этап 2.1.37

Умножим $i^{6}$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{6}$

Этап 2.1.38

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{4} i^{2}$

Этап 2.1.39

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.39.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.39.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.39.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{2}$

Этап 2.1.40

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{2}$

Этап 2.1.41

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $15$ из $1$ .

$- 14 - 6 i + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 14$ и $15$ .

$1 - 6 i + 20 i - 6 i - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 - 6 i + 20 i - 6 i$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $6 i$ из $0$ .

$- 6 i + 20 i - 6 i$

Этап 2.2.3

Добавим $- 6 i$ и $20 i$ .

$14 i - 6 i$

Этап 2.2.4

Вычтем $6 i$ из $14 i$ .

$8 i$