Элемент. математика Примеры

$(2 i + 3 j + 5 k) \cdot (i + 3 j + 2 k)$

Этап 1

Развернем $(2 i + 3 j + 5 k) (i + 3 j + 2 k)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 i i + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $2 i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$2 (i^{1} i) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.1.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$2 (i^{1} i^{1}) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 i^{1 + 1} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 i^{2} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$2 \cdot - 1 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 + 6 i j + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j \cdot j + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.7

Умножим $j$ на $j$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 (j \cdot j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.7.2

Умножим $j$ на $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.8

Умножим $3$ на $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 \cdot 2 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Этап 2.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 \cdot 3 k j + 5 k (2 k)$

Этап 2.12

Умножим $5$ на $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 k (2 k)$

Этап 2.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k \cdot k$

Этап 2.14

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Перенесем $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 (k \cdot k)$

Этап 2.14.2

Умножим $k$ на $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k^{2}$

Этап 2.15

Умножим $5$ на $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Этап 3

Добавим $6 i j$ и $3 j i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $i$ .

$- 2 + 6 j i + 3 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Этап 3.2

Добавим $6 j i$ и $3 j i$ .

$- 2 + 9 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Этап 4

Добавим $4 i k$ и $5 k i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 4 k i + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Этап 4.2

Добавим $4 k i$ и $5 k i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 9 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Этап 5

Добавим $6 j k$ и $15 k j$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 15 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Этап 5.2

Добавим $6 j k$ и $15 j k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Этап 6

Перенесем $- 2$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2} - 2$

Этап 7

Перенесем $9 k i$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 k i - 2$

Этап 8

Перенесем $9 j i$ .

$9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 j i + 9 k i - 2$