Элемент. математика Примеры

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 5$ .

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z - 5, z + 5, (z + 5) (z - 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $z - 5$ является само значение $z - 5$ .

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $z + 5$ является само значение $z + 5$ .

$(z + 5) = z + 5$

$(z + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $z - 5$ является само значение $z - 5$ .

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $z - 5, z + 5, z + 5, z - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z - 5) (z + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ умножим на $(z - 5) (z + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ на $(z - 5) (z + 5)$ .

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $z - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$z (z + 5) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$z \cdot z + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $z$ на $z$ .

$z^{2} + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $5$ влево от $z$ .

$z^{2} + 5 \cdot z + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $z + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $z + 5$ из $(z - 5) (z + 5)$ .

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$z^{2} + 5 z + 5 (z - 5) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$z^{2} + 5 z + 5 z + 5 \cdot - 5 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $5$ на $- 5$ .

$z^{2} + 5 z + 5 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.2.2

Добавим $5 z$ и $5 z$ .

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(z - 5) (z + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(z - 5) (z + 5)$ из $(z + 5) (z - 5)$ .

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) (1)} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) \cdot 1} ((z - 5) (z + 5))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$z^{2} + 10 z - 25 = 50$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 10 z - 25 - 50 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $50$ из $- 25$ .

$z^{2} + 10 z - 75 = 0$

Этап 4.3

Разложим $z^{2} + 10 z - 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 75$ , а сумма — $10$ .

$- 5, 15$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(z - 5) (z + 15) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z - 5 = 0$

$z + 15 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $z - 5$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $z - 5$ к $0$ .

$z - 5 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$z = 5$

Этап 4.6

Приравняем $z + 15$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $z + 15$ к $0$ .

$z + 15 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$z = - 15$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z - 5) (z + 15) = 0$ верно.

$z = 5, - 15$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$ истинным.

$z = - 15$