Элемент. математика Примеры

$f (f + g) = f + g$

Этап 1

Упростим $f (f + g)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + f (f + g) = f + g$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$f (f + g) = f + g$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f \cdot f + f g = f + g$

Этап 1.4

Умножим $f$ на $f$ .

$f^{2} + f g = f + g$

Этап 2

Вычтем $f$ из обеих частей уравнения.

$f^{2} + f g - f = g$

Этап 3

Вычтем $g$ из обеих частей уравнения.

$f^{2} + f g - f - g = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = g - 1$ и $c = - g$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $f$ .

$\frac{- (g - 1) \pm \sqrt{{(g - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- g))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{{(g - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{{(g - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Перепишем ${(g - 1)}^{2}$ в виде $(g - 1) (g - 1)$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{(g - 1) (g - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Развернем $(g - 1) (g - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g (g - 1) - 1 (g - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g \cdot g + g \cdot - 1 - 1 (g - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g \cdot g + g \cdot - 1 - 1 g - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1.1

Умножим $g$ на $g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} + g \cdot - 1 - 1 g - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - 1 \cdot g - 1 g - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.1.3

Перепишем $- 1 g$ в виде $- g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - g - 1 g - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.1.4

Перепишем $- 1 g$ в виде $- g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - g - g - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - g - g + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.2

Вычтем $g$ из $- g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - 2 g + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - 2 g + 1 - 4 \cdot (- 1 g)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} - 2 g + 1 + 4 g}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7

Добавим $- 2 g$ и $4 g$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} + 2 g + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} + 2 g + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 g = 2 \cdot g \cdot 1$

Этап 6.1.8.3

Перепишем многочлен.

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{g^{2} + 2 \cdot g \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = g$ и $b = 1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm \sqrt{{(g + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f = \frac{- g + 1 \pm (g + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f = \frac{- g + 1 \pm (g + 1)}{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$f = 1$

$f = - g$