Элемент. математика Примеры

$81^{f^{3} + 2 f^{2}} = 27^{\frac{5 f}{3}}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{4 (f^{3} + 2 f^{2})} = 3^{3 \frac{5 f}{3}}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$4 (f^{3} + 2 f^{2}) = 3 \frac{5 f}{3}$

Этап 3

Решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 (f^{3} + 2 f^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 4 (f^{3} + 2 f^{2}) = 3 (\frac{5 f}{3})$

Этап 3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$4 (f^{3} + 2 f^{2}) = 3 (\frac{5 f}{3})$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 f^{3} + 4 (2 f^{2}) = 3 (\frac{5 f}{3})$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$4 f^{3} + 8 f^{2} = 3 (\frac{5 f}{3})$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 f^{3} + 8 f^{2} = 3 \frac{5 f}{3}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 f^{3} + 8 f^{2} = 5 f$

Этап 3.3

Вычтем $5 f$ из обеих частей уравнения.

$4 f^{3} + 8 f^{2} - 5 f = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $f$ из $4 f^{3} + 8 f^{2} - 5 f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $f$ из $4 f^{3}$ .

$f (4 f^{2}) + 8 f^{2} - 5 f = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $f$ из $8 f^{2}$ .

$f (4 f^{2}) + f (8 f) - 5 f = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $f$ из $- 5 f$ .

$f (4 f^{2}) + f (8 f) + f \cdot - 5 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $f$ из $f (4 f^{2}) + f (8 f)$ .

$f (4 f^{2} + 8 f) + f \cdot - 5 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $f$ из $f (4 f^{2} + 8 f) + f \cdot - 5$ .

$f (4 f^{2} + 8 f - 5) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 f$ .

$f (4 f^{2} + 8 (f) - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$f (4 f^{2} + (- 2 + 10) f - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (4 f^{2} - 2 f + 10 f - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f ((4 f^{2} - 2 f) + 10 f - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (2 f (2 f - 1) + 5 (2 f - 1)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 f - 1$ .

$f ((2 f - 1) (2 f + 5)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (2 f - 1) (2 f + 5) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$f = 0$

$2 f - 1 = 0$

$2 f + 5 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $f$ к $0$ .

$f = 0$

Этап 3.7

Приравняем $2 f - 1$ к $0$ , затем решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $2 f - 1$ к $0$ .

$2 f - 1 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $2 f - 1 = 0$ относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 f = 1$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $2 f = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 f = 1$ на $2$ .

$\frac{2 f}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 f}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f = \frac{1}{2}$

Этап 3.8

Приравняем $2 f + 5$ к $0$ , затем решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $2 f + 5$ к $0$ .

$2 f + 5 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $2 f + 5 = 0$ относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 f = - 5$

Этап 3.8.2.2

Разделим каждый член $2 f = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 f = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 f}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 f}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.2.1.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f = - \frac{5}{2}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $f (2 f - 1) (2 f + 5) = 0$ верно.

$f = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$f = 0, 0.5, - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$f = 0, \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$