Элемент. математика Примеры

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $9$ на $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

Этап 2.2.2

Добавим $- 45$ и $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

Этап 3.2.3

Добавим $81$ и $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

Этап 4.2.3

Добавим $25$ и $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

Этап 6.1.2

Умножим $85$ на $61$ .

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ на $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ на $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

Этап 6.4.2

Возведем $\sqrt{5185}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{5185}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

Этап 6.4.6

Перепишем ${\sqrt{5185}}^{2}$ в виде $5185$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5185}$ в виде $5185^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

Этап 6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

Этап 6.5

Найдем значение $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ .

$θ = 117.27676338$