Элемент. математика Примеры

$a^{2} = \sqrt{2} a + 1$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2} a$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - \sqrt{2} a = 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - \sqrt{2} a - 1 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.5

Найдем экспоненту.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Добавим $2$ и $4$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Десятичная форма:

$a = 1.93185165 \dots, - 0.51763809 \dots$