Элемент. математика Примеры

$2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$

Этап 1

Разложим $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 40, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5, \pm 2.5, \pm 8$

Этап 1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{4} - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $4$ .

$2 \cdot 0.0625 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $0.0625$ .

$0.125 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$0.125 - 7 \cdot - 0.125 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.5

Умножим $- 7$ на $- 0.125$ .

$0.125 + 0.875 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.6

Добавим $0.125$ и $0.875$ .

$1 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.7

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$1 - 78 \cdot 0.25 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.8

Умножим $- 78$ на $0.25$ .

$1 - 19.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.9

Вычтем $19.5$ из $1$ .

$- 18.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Этап 1.3.10

Умножим $43$ на $- 0.5$ .

$- 18.5 - 21.5 + 40$

Этап 1.3.11

Вычтем $21.5$ из $- 18.5$ .

$- 40 + 40$

Этап 1.3.12

Добавим $- 40$ и $40$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 q + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40}{2 q + 1}$

Этап 1.5

Разделим $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ на $2 q + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 q^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 q$ .

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 q^{4} + q^{3}$ .

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 q^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$q^{3}$	-	$4 q^{2}$
$2 q$	+	$1$		$2 q^{4}$	-	$7 q^{3}$	-	$78 q^{2}$	+	$43 q$	+	$40$
			-	$2 q^{4}$	-	$q^{3}$
					-	$8 q^{3}$	-	$78 q^{2}$
					-	$8 q^{3}$	-	$4 q^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 q^{3} - 4 q^{2}$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 74 q^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 74 q^{2} - 37 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $80 q$ на член с максимальной степенью в делителе $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $80 q + 40$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$

Этап 1.6

Запишем $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ в виде набора множителей.

$(2 q + 1) (q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40)$

Этап 2

Разложим $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Этап 2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

Этап 2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

Этап 2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 37 \cdot 1 + 40$

Этап 2.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4 - 37 \cdot 1 + 40$

Этап 2.3.5

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 - 37 \cdot 1 + 40$

Этап 2.3.6

Умножим $- 37$ на $1$ .

$- 3 - 37 + 40$

Этап 2.3.7

Вычтем $37$ из $- 3$ .

$- 40 + 40$

Этап 2.3.8

Добавим $- 40$ и $40$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $q - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40}{q - 1}$

Этап 2.5

Разделим $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ на $q - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$q$

$1$

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $q^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $q$ .

					$q^{2}$
	$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			+	$q^{3}$	-	$q^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $q^{3} - q^{2}$ .

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 q^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					-	$3 q^{2}$	+	$3 q$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 q^{2} + 3 q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 40 q$ на член с максимальной степенью в делителе $q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							-	$40 q$	+	$40$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 40 q + 40$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$q^{2} - 3 q - 40$

Этап 2.6

Запишем $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ в виде набора множителей.

$(2 q + 1) ((q - 1) (q^{2} - 3 q - 40))$

Этап 3

Разложим $q^{2} - 3 q - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $q^{2} - 3 q - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $q^{2} - 3 q - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $- 3$ .

$- 8, 5$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 q + 1) ((q - 1) ((q - 8) (q + 5)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 q + 1) ((q - 1) (q - 8) (q + 5))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 q + 1) (q - 1) (q - 8) (q + 5)$