Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Этап 2

Упростим $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Этап 2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

Этап 2.2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ в степень $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ в степень $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Этап 2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Этап 2.4

Перепишем ${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Этап 2.5

Развернем $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $11$ на $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.3

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.6

Умножим $11$ на $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.8

Умножим $7$ на $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.6.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

Этап 2.6.1.10

Умножим $7$ на $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

Этап 2.6.1.11

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

Этап 2.6.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

Этап 2.6.2

Добавим $11$ и $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

Этап 2.6.3

Добавим $\sqrt{77}$ и $\sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $18 + 2 \sqrt{77}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

Этап 2.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

Этап 2.7.4.2

Сократим общий множитель.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.4.3

Перепишем это выражение.

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Этап 3

Вычтем $b \sqrt{7}$ из обеих частей уравнения.

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$