Элемент. математика Примеры

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Этап 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Этапы поиска НОК для $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $a^{2}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $a + 5, a - 5$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $a^{2}$ — $a \cdot a$ , то есть $a$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ встречается $2$ раз.

Этап 2.7

НОК $a^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a \cdot a$

Этап 2.8

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2}$

Этап 2.9

Множителем $a + 5$ является само значение $a + 5$ .

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

Множителем $a - 5$ является само значение $a - 5$ .

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $a + 5, a - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a + 5) (a - 5)$

Этап 2.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ умножим на $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ на $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $a^{2}$ из $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(a + 5) (a - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.3

Объединим противоположные члены в $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $a \cdot - 5$ и $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $- 5 a$ и $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.3.3

Добавим $a \cdot a$ и $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Умножим $a$ на $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $9$ на $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $(a + 5) (a - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $(a + 5) (a - 5)$ из $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.2.2

Добавим $9 a^{2}$ и $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ на $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Этап 3.3.3

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Этап 3.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Этап 3.3.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Этап 3.3.4

Перенесем $5$ влево от $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Этап 3.3.5

Развернем $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Этап 3.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Этап 3.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Умножим $a^{3}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1.1

Умножим $a^{3}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.3

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.3.1

Перенесем $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.3.2

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.3.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Этап 3.3.6.1.4

Умножим $- 5$ на $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Этап 3.3.6.2

Добавим $- 5 a^{3}$ и $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Этап 3.3.6.3

Добавим $a^{4}$ и $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Этап 4.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $25 a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Этап 4.2.2

Добавим $225$ к обеим частям уравнения.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $25 a^{2}$ из $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Этап 4.4

Подставим $u = a^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Этап 4.5

Разложим $u^{2} - 50 u + 225$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $225$ , а сумма — $- 50$ .

$- 45, - 5$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $u - 45$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $u - 45$ к $0$ .

$u - 45 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $45$ к обеим частям уравнения.

$u = 45$

Этап 4.8

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 45) (u - 5) = 0$ верно.

$u = 45, 5$

Этап 4.10

Подставим вещественное значение $u = a^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Этап 4.11

Решим первое уравнение относительно $a$ .

$a^{2} = 45$

Этап 4.12

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Этап 4.12.2

Упростим $\pm \sqrt{45}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Этап 4.12.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Этап 4.12.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Этап 4.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = 3 \sqrt{5}$

Этап 4.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Этап 4.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Этап 4.13

Решим второе уравнение относительно $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 5$

Этап 4.14

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Избавимся от скобок.

$a^{2} = 5$

Этап 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Этап 4.14.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = \sqrt{5}$

Этап 4.14.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - \sqrt{5}$

Этап 4.14.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 4.15

Решением $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ является $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$