Элемент. математика Примеры

$a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b + 10 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = b^{2} - 6 b + 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} - 4 (- 6 b) - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $10$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 40}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Вычтем $40$ из $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 b^{2} + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Перепишем $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $24 b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- b^{2}) + 4 (6 b)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 (b) - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.2

Запишем $6$ как $3$ плюс $3$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + (3 + 3) b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 3 b + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b^{2} + 3 b) + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (b (- b + 3) - 3 (- b + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- b + 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b + 3) (b - 3))}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) - 1 \cdot - 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b) - 1 (- 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.4

Перепишем $- (b - 3)$ в виде $- 1 (b - 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1 (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.5

Возведем $b - 3$ в степень $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.6

Возведем $b - 3$ в степень $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3.9

Умножим $4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $- 4 {(b - 3)}^{2}$ в виде ${(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1) {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.3

Перенесем $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} {(b - 3)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.4

Перепишем $2^{2} {(b - 3)}^{2}$ в виде ${(2 (b - 3))}^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{{(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) \sqrt{- 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b + 2 \cdot - 3) i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.11

Умножим $2$ на $- 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b - 6) i}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - 1 + b i - 3 i$

$a = - 1 - b i + 3 i$