Элемент. математика Примеры

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 4 x} = 3125$

Этап 1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5^{x^{2} - 4 x} = 3125$

Этап 2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{x^{2} - 4 x} = 5^{5}$

Этап 3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} - 4 x = 5$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$