Элемент. математика Примеры

$\cos (2 s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (s)) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.3

Умножим $\sin (s)$ на $1$ .

$\sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.4

Умножим $\sin^{2} (s)$ на $\sin (s)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перенесем $\sin (s)$ .

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\sin (s)$ на $\sin^{2} (s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Возведем $\sin (s)$ в степень $1$ .

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (s) - 2 {\sin (s)}^{1 + 2} + \sin (s) = 0$

Этап 1.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\sin (s) - 2 \sin^{3} (s) + \sin (s) = 0$

Этап 1.2

Добавим $\sin (s)$ и $\sin (s)$ .

$2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s) = 0$

Этап 2

Разложим $2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \sin (s)$ из $2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (s)$ из $2 \sin (s)$ .

$2 \sin (s) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (s) = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (s)$ из $- 2 \sin^{3} (s)$ .

$2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s)) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (s)$ из $2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s))$ .

$2 \sin (s) (1 - \sin^{2} (s)) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 \sin (s) (1^{2} - \sin^{2} (s)) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (s)$ .

$2 \sin (s) ((1 + \sin (s)) (1 - \sin (s))) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (s) = 0$

$1 + \sin (s) = 0$

$1 - \sin (s) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (s)$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (s)$ к $0$ .

$\sin (s) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (s) = 0$ относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $s$ из синуса.

$s = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$s = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$s = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$s = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (s)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$s = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $1 + \sin (s)$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $1 + \sin (s)$ к $0$ .

$1 + \sin (s) = 0$

Этап 5.2

Решим $1 + \sin (s) = 0$ относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (s) = - 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $s$ из синуса.

$s = \arcsin (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$s = - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$s = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\sin (s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 5.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.7.5

Перечислим новые углы.

$s = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (s)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$s = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $1 - \sin (s)$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $1 - \sin (s)$ к $0$ .

$1 - \sin (s) = 0$

Этап 6.2

Решим $1 - \sin (s) = 0$ относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (s) = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $- \sin (s) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (s) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (s)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (s)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим $\sin (s)$ на $1$ .

$\sin (s) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (s) = 1$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $s$ из синуса.

$s = \arcsin (1)$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$s = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5

$s = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$s = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$s = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$s = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (s)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$s = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$ верно.

$s = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$s = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$