Элемент. математика Примеры

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $r^{2} - 2 r - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Этап 1.2

Разложим $r^{2} - 2 r - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$- 4, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $r - 4$ является само значение $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $r + 2$ является само значение $r + 2$ .

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $r - 4$ является само значение $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $r + 2$ является само значение $r + 2$ .

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(r - 4) (r + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ умножим на $(r - 4) (r + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ на $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(r - 4) (r + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $r + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $r + 2$ из $(r - 4) (r + 2)$ .

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(r - 3) (r - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.4.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.1.4.2

Вычтем $3 r$ из $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $7 r$ из $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 2$ и $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(r - 4) (r + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u = r$ . Подставим $u$ вместо $r$ для всех.

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Переставляем члены.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Этап 4.3.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Этап 4.3.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 4.3.2.4

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 4.3.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $r - 3$ к $0$ .

$r - 3 = 0$

Этап 4.5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$r = 3$