Элемент. математика Примеры

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $r^{3} = - \frac{1}{27}$ .

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

Этап 2

Добавим $\frac{1}{27}$ к обеим частям уравнения.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

Этап 3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = r$ и $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Этап 3.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Этап 3.5.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 5

Приравняем $r + \frac{1}{3}$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $r + \frac{1}{3}$ к $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$r = - \frac{1}{3}$

Этап 6

Приравняем $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ к $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 6.2

Решим $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $9$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{r}{3}$ в числитель.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.1.4

Перепишем это выражение.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 6.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.3

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 6.2.4.3

Упростим $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ верно.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$