Элемент. математика Примеры

$\frac{5}{p^{2} - 6 p - 7} - \frac{2}{p^{2} - 49} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $p^{2} - 6 p - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{p^{2} - 49} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Этап 1.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{p^{2} - 7^{2}} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = p$ и $b = 7$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Этап 1.4

Разложим $p^{2} + 8 p + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $8$ .

$1, 7$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(p - 7) (p + 1), (p + 7) (p - 7), (p + 1) (p + 7)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $p - 7$ является само значение $p - 7$ .

$(p - 7) = p - 7$

$(p - 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $p + 1$ является само значение $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $p + 7$ является само значение $p + 7$ .

$(p + 7) = p + 7$

$(p + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $p - 7$ является само значение $p - 7$ .

$(p - 7) = p - 7$

$(p - 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $p + 1$ является само значение $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

Множителем $p + 7$ является само значение $p + 7$ .

$(p + 7) = p + 7$

$(p + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $p - 7, p + 1, p + 7, p - 7, p + 1, p + 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(p - 7) (p + 1) (p + 7)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$ умножим на $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$ на $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(p - 7) (p + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 (p + 7) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 p + 5 \cdot 7 - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $5$ на $7$ .

$5 p + 35 - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $(p - 7) (p + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{(p + 7) (p - 7)}$ в числитель.

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $(p - 7) (p + 7)$ из $(p + 7) (p - 7)$ .

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) (1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.4.3

Вынесем множитель $(p - 7) (p + 7)$ из $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) (1)} ((p - 7) (p + 7) (p + 1)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) \cdot 1} ((p - 7) (p + 7) (p + 1)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$5 p + 35 - 2 (p + 1) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 p + 35 - 2 p - 2 \cdot 1 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 p + 35 - 2 p - 2 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 p$ из $5 p$ .

$3 p + 35 - 2 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2$ из $35$ .

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(p + 1) (p + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(p + 1) (p + 7)$ из $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p + 1) (p + 7) (p - 7))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p + 1) (p + 7) (p - 7))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 p + 33 = 4 (p - 7)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 p + 33 = 4 p + 4 \cdot - 7$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $- 7$ .

$3 p + 33 = 4 p - 28$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 p$ из обеих частей уравнения.

$3 p + 33 - 4 p = - 28$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 p$ из $3 p$ .

$- p + 33 = - 28$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $p$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $33$ из обеих частей уравнения.

$- p = - 28 - 33$

Этап 4.2.2

Вычтем $33$ из $- 28$ .

$- p = - 61$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- p = - 61$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- p = - 61$ на $- 1$ .

$\frac{- p}{- 1} = \frac{- 61}{- 1}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{p}{1} = \frac{- 61}{- 1}$

Этап 4.3.2.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 61}{- 1}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 61$ на $- 1$ .

$p = 61$