Элемент. математика Примеры

a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Этап 1

Разделим каждый член

a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ на

b^{r - p}

$b^{r - p}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член

a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ на

b^{r - p}

$b^{r - p}$ .

\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель

b^{r - p}

$b^{r - p}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 1.2.1.2

Разделим

$a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ на

$1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем

$\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ в виде

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3.2

Развернем

$\ln (a^{q - r})$ , вынося

$q - r$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3.3

Развернем

$\ln (c^{p - q})$ , вынося

$p - q$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем

$\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ в виде

$\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Этап 4.2

Развернем

$\ln (b^{r - p})$ , вынося

$r - p$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.3

Натуральный логарифм

$1$ равен

$0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.4

Вычтем

$(r - p) \ln (b)$ из

$0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.5

Избавимся от скобок.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим

$- (r - p) \ln (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Этап 6.1.2

Умножим

$- - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Этап 6.1.2.2

Умножим

$p$ на

$1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем

$- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 7.2

Изменим порядок

$q \ln (a)$ и

$p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 8

Изменим порядок

$- r \ln (b)$ и

$p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 9

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Этап 10

Перенесем все члены без

$q$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем

$p \ln (c)$ из обеих частей уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Этап 10.2

Добавим

$r \ln (a)$ к обеим частям уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Этап 10.3

Добавим

$p \ln (b)$ к обеим частям уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Этап 10.4

Вычтем

$r \ln (b)$ из обеих частей уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11

Вынесем множитель

$q$ из

$q \ln (a) - q \ln (c)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель

$q$ из

$q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11.2

Вынесем множитель

$q$ из

$- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11.3

Вынесем множитель

$q$ из

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 12

Перепишем

$- 1 \ln (c)$ в виде

$- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 13

Разделим каждый член

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ на

$\ln (a) - \ln (c)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ на

$\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель

$\ln (a) - \ln (c)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 13.2.1.2

Разделим

$q$ на

$1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.4

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.5

Вынесем множитель

$- 1$ из

$r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.6

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.7

Вынесем множитель

$- 1$ из

$p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.8

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.9

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.10

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.11.1

Перепишем

$- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ в виде

$- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$