Элемент. математика Примеры

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ на $b^{r - p}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ на $b^{r - p}$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $b^{r - p}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ на $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ в виде $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (a^{q - r})$ , вынося $q - r$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 3.3

Развернем $\ln (c^{p - q})$ , вынося $p - q$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Этап 4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ в виде $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Этап 4.2

Развернем $\ln (b^{r - p})$ , вынося $r - p$ из логарифма.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.4

Вычтем $(r - p) \ln (b)$ из $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Этап 4.5

Избавимся от скобок.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $- (r - p) \ln (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Этап 6.1.2

Умножим $- - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Этап 6.1.2.2

Умножим $p$ на $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 7.2

Изменим порядок $q \ln (a)$ и $p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Этап 8

Изменим порядок $- r \ln (b)$ и $p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 9

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Этап 10

Перенесем все члены без $q$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $p \ln (c)$ из обеих частей уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Этап 10.2

Добавим $r \ln (a)$ к обеим частям уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Этап 10.3

Добавим $p \ln (b)$ к обеим частям уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Этап 10.4

Вычтем $r \ln (b)$ из обеих частей уравнения.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11

Вынесем множитель $q$ из $q \ln (a) - q \ln (c)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $q$ из $q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $q$ из $- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 11.3

Вынесем множитель $q$ из $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 12

Перепишем $- 1 \ln (c)$ в виде $- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Этап 13

Разделим каждый член $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ на $\ln (a) - \ln (c)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ на $\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $\ln (a) - \ln (c)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 13.2.1.2

Разделим $q$ на $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.11.1

Перепишем $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ в виде $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Этап 13.3.2.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$