Элемент. математика Примеры

$\frac{n + 2}{n - 2} - \frac{5}{n^{2} - 4} = \frac{n + 5}{n + 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{n + 2}{n - 2} - \frac{5}{n^{2} - 2^{2}} = \frac{n + 5}{n + 2}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n$ и $b = 2$ .

$\frac{n + 2}{n - 2} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} = \frac{n + 5}{n + 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$n - 2, (n + 2) (n - 2), n + 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $n - 2$ является само значение $n - 2$ .

$(n - 2) = n - 2$

$(n - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $n + 2$ является само значение $n + 2$ .

$(n + 2) = n + 2$

$(n + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $n - 2$ является само значение $n - 2$ .

$(n - 2) = n - 2$

$(n - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $n + 2$ является само значение $n + 2$ .

$(n + 2) = n + 2$

$(n + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $n - 2, n + 2, n - 2, n + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(n - 2) (n + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{n + 2}{n - 2} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} = \frac{n + 5}{n + 2}$ умножим на $(n - 2) (n + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{n + 2}{n - 2} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} = \frac{n + 5}{n + 2}$ на $(n - 2) (n + 2)$ .

$\frac{n + 2}{n - 2} ((n - 2) (n + 2)) - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $n - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{n + 2}{n - 2} ((n - 2) (n + 2)) - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(n + 2) (n + 2) - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $n + 2$ в степень $1$ .

${(n + 2)}^{1} (n + 2) - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.3

Возведем $n + 2$ в степень $1$ .

${(n + 2)}^{1} {(n + 2)}^{1} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(n + 2)}^{1 + 1} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(n + 2)}^{2} - \frac{5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $(n - 2) (n + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{(n + 2) (n - 2)}$ в числитель.

${(n + 2)}^{2} + \frac{- 5}{(n + 2) (n - 2)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $(n - 2) (n + 2)$ из $(n + 2) (n - 2)$ .

${(n + 2)}^{2} + \frac{- 5}{(n - 2) (n + 2) (1)} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

${(n + 2)}^{2} + \frac{- 5}{(n - 2) (n + 2) \cdot 1} ((n - 2) (n + 2)) = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

${(n + 2)}^{2} - 5 = \frac{n + 5}{n + 2} ((n - 2) (n + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $n + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $n + 2$ из $(n - 2) (n + 2)$ .

${(n + 2)}^{2} - 5 = \frac{n + 5}{n + 2} ((n + 2) (n - 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

${(n + 2)}^{2} - 5 = \frac{n + 5}{n + 2} ((n + 2) (n - 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

${(n + 2)}^{2} - 5 = (n + 5) (n - 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(n + 5) (n - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(n + 2)}^{2} - 5 = n (n - 2) + 5 (n - 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(n + 2)}^{2} - 5 = n \cdot n + n \cdot - 2 + 5 (n - 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(n + 2)}^{2} - 5 = n \cdot n + n \cdot - 2 + 5 n + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

${(n + 2)}^{2} - 5 = n^{2} + n \cdot - 2 + 5 n + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $n$ .

${(n + 2)}^{2} - 5 = n^{2} - 2 \cdot n + 5 n + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

${(n + 2)}^{2} - 5 = n^{2} - 2 n + 5 n - 10$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- 2 n$ и $5 n$ .

${(n + 2)}^{2} - 5 = n^{2} + 3 n - 10$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $n$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$n^{2} + 3 n - 10 = {(n + 2)}^{2} - 5$

Этап 4.2

Упростим ${(n + 2)}^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем ${(n + 2)}^{2}$ в виде $(n + 2) (n + 2)$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = (n + 2) (n + 2) - 5$

Этап 4.2.1.2

Развернем $(n + 2) (n + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} + 3 n - 10 = n (n + 2) + 2 (n + 2) - 5$

Этап 4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} + 3 n - 10 = n \cdot n + n \cdot 2 + 2 (n + 2) - 5$

Этап 4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} + 3 n - 10 = n \cdot n + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2 - 5$

Этап 4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = n^{2} + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2 - 5$

Этап 4.2.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $n$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = n^{2} + 2 \cdot n + 2 n + 2 \cdot 2 - 5$

Этап 4.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = n^{2} + 2 n + 2 n + 4 - 5$

Этап 4.2.1.3.2

Добавим $2 n$ и $2 n$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = n^{2} + 4 n + 4 - 5$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$n^{2} + 3 n - 10 = n^{2} + 4 n - 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$n^{2} + 3 n - 10 - n^{2} = 4 n - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $4 n$ из обеих частей уравнения.

$n^{2} + 3 n - 10 - n^{2} - 4 n = - 1$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $n^{2} + 3 n - 10 - n^{2} - 4 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $n^{2}$ из $n^{2}$ .

$3 n - 10 + 0 - 4 n = - 1$

Этап 4.3.3.2

Добавим $3 n - 10$ и $0$ .

$3 n - 10 - 4 n = - 1$

Этап 4.3.4

Вычтем $4 n$ из $3 n$ .

$- n - 10 = - 1$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$- n = - 1 + 10$

Этап 4.4.2

Добавим $- 1$ и $10$ .

$- n = 9$

Этап 4.5

Разделим каждый член $- n = 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $- n = 9$ на $- 1$ .

$\frac{- n}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{n}{1} = \frac{9}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{9}{- 1}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $9$ на $- 1$ .

$n = - 9$